이차방정식의 정수근과 근의 변형

문제

$m$은 정수이고, 이차방정식 $x^2 - (m+5)x + (4m+6) = 0$의 두 근이 서로 다른 정수일 때, 이 두 근을 각각 $\alpha, \beta$라 하자. 두 수 $\alpha^2, \beta^2$을 두 근으로 하는 이차방정식 $x^2 - ax + b = 0$에 대하여, 가능한 모든 $m$의 값에 대해 $a+b$의 값을 구하고, 이 모든 $a+b$ 값들의 총합을 구하시오.