서로 다른 정수근을 갖는 이차방정식

문제

두 이차방정식 $x^2 - mx + n = 0$과 $x^2 - (m+1)x + (n+2) = 0$이 있다. 첫 번째 이차방정식의 서로 다른 두 근을 $\alpha, \beta$라 하고, 두 번째 이차방정식의 서로 다른 두 근을 $\gamma, \delta$라 하자. 이때, $\alpha, \beta, \gamma, \delta$가 모두 서로 다른 4개의 정수일 때, 정수 $m$의 최솟값은?