정수근 조건을 만족하는 이차방정식의 계수 최댓값

문제

양의 정수 $n$에 대하여 $x$에 대한 이차방정식 $x^2 - (3n+1)x + (n^2+n+k) = 0$ 이 두 개의 서로 다른 양의 정수근을 갖도록 하는 정수 $k$가 존재한다. 양의 정수 $n$이 $10$ 이하일 때, $k$가 가질 수 있는 최댓값을 구하시오.