이차방정식의 정수근과 조건

문제

계수가 정수인 이차방정식 $x^2 + ax + b = 0$이 있다. 이 방정식의 두 근을 $\alpha, \beta$라 할 때, 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\alpha, \beta$는 서로 다른 정수이다. (나) $b$는 100 이하의 자연수이다. (다) 이차방정식 $x^2 - (a+1)x + (b+k) = 0$은 중근을 가진다. (단, $k$는 정수) (라) $k$는 100 이하의 자연수이다.

이때, $a+b+k$의 최댓값을 구하시오.