두 원과 현의 길이가 같을 조건

문제

좌표평면 위에 두 원 $C_1: (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$와 $C_2: (x-5)^2 + (y-6)^2 = 9$가 있다. 원점 $\mathrm{O}(0,0)$을 지나는 직선 $L$이 두 원 $C_1$, $C_2$와 각각 서로 다른 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 및 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$에서 만난다고 하자. 이때, 두 현의 길이 $\overline{\mathrm{AB}}$와 $\overline{\mathrm{CD}}$가 같아지는 모든 직선 $L$의 기울기의 합은?

(단, 직선 $L$은 $x$축에 수직인 직선이 아니다.)