점화식과 수열 - 절댓값 조건 분석 (킬러 문항)

문제

수열 $\{a_n\}$이 다음을 만족시킨다.

$a_{n+1} = \begin{cases} a_n + 3 & (a_n < 0) \\ -2a_n + 1 & (a_n \geq 0) \end{cases}$

$|a_m| = |a_{m+2}|$를 만족시키는 자연수 $m$의 최솟값이 $3$일 때, 가능한 모든 $|a_1|$ 값의 합을 구하시오.