등비수열과 무한급수 - 부분합 조건 분석

문제

첫째항이 $a$이고 공비가 $r$ ($|r| < 1$)인 등비수열 $\{a_n\}$에 대하여,

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{10}{3}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 = \frac{20}{3}$

일 때, 부등식

$\left|\sum_{n=m}^{\infty} a_n\right| < 1$

을 만족시키는 모든 자연수 $m$의 합을 구하시오.