중2 수학 | 도형의 닮음: 주변에서 닮음을 찾아봐요!

개요

여러분, 주변에서 똑같은 모양인데 크기만 다른 물건들을 본 적 있나요? 스마트폰으로 사진을 확대하거나 축소할 때, 실제 건물을 작게 만든 모형을 볼 때, 또는 지도를 볼 때 등 우리 일상생활에는 '닮음'의 개념이 숨어 있습니다. 이 단원에서는 바로 이 '닮음'이 무엇인지 수학적으로 정확하게 배우고, 도형의 닮음 성질을 이용하여 문제들을 해결하는 방법을 익히게 됩니다. 도형의 닮음은 앞으로 배우게 될 더 심화된 도형 문제 해결의 중요한 도구가 될 거예요.

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핵심 개념

1. 닮은 도형

'닮은 도형'이란 한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소했을 때, 다른 도형과 완전히 겹쳐지는 관계에 있는 두 도형을 말합니다. 마치 원본 사진과 그 사진을 확대/축소한 것과 같다고 생각하면 쉬워요. 이때 모양은 같고 크기만 다를 뿐이죠.

두 도형이 닮음일 때, 다음 두 가지 중요한 성질을 가집니다.

1. 대응하는 각의 크기는 서로 같습니다.
2. 대응하는 변의 길이의 비는 일정합니다. 이 일정한 비를 '닮음비'라고 합니다.

예를 들어, $\triangle ABC$와 $\triangle DEF$가 닮음이라면, $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$ 이고, 변 AB : 변 DE = 변 BC : 변 EF = 변 CA : 변 FD 와 같이 대응하는 변의 길이의 비가 모두 같다는 의미입니다.

닮음을 나타내는 기호는 '$\sim$' 입니다. 예를 들어, $\triangle ABC$와 $\triangle DEF$가 닮음일 때는 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$와 같이 표현합니다. 이때, 대응하는 꼭짓점의 순서를 맞춰서 써야 해요!

핵심: 모든 각은 같고, 모든 변의 길이가 일정한 비율로 확대 또는 축소된 관계입니다.

예제: 두 직사각형 ABCD와 EFGH가 닮음이라고 가정해 봅시다. 직사각형 ABCD의 가로 길이가 4cm, 세로 길이가 2cm이고, 직사각형 EFGH의 가로 길이가 8cm, 세로 길이가 4cm입니다.

1. 대응하는 각의 크기: 직사각형은 모든 각이 90도이므로, 두 직사각형의 대응하는 각의 크기는 모두 같습니다.
2. 닮음비: 대응하는 변의 길이의 비를 구해볼까요? 가로의 비는 4cm : 8cm = 1 : 2 이고, 세로의 비는 2cm : 4cm = 1 : 2 입니다. 따라서 두 직사각형의 닮음비는 1 : 2 입니다.

2. 삼각형의 닮음 조건

도형 전체를 확인하기 전에, 삼각형은 특별히 몇 가지 조건만 만족하면 닮음이라고 말할 수 있습니다. 이 조건들은 삼각형의 합동 조건과 비슷하니 비교해서 기억하면 좋습니다. 삼각형의 닮음 조건은 세 가지가 있습니다.

1. SSS 닮음 (세 변의 길이의 비가 같을 때)

   • 두 삼각형의 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 모두 같으면 두 삼각형은 닮음입니다.
   • 예시: $\triangle ABC$에서 변 AB, BC, CA의 길이가 각각 3, 4, 5이고, $\triangle DEF$에서 변 DE, EF, FD의 길이가 각각 6, 8, 10일 때, 각 변의 비가 1:2로 같으므로 SSS 닮음입니다.

2. SAS 닮음 (두 변의 길이의 비와 그 끼인각의 크기가 같을 때)

   • 두 삼각형의 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각(두 변 사이에 있는 각)의 크기가 같으면 두 삼각형은 닮음입니다.
   • 예시: $\triangle ABC$에서 변 AB = 4, 변 BC = 6이고 $\angle B = 60^{\circ}$ 입니다. $\triangle DEF$에서 변 DE = 8, 변 EF = 12이고 $\angle E = 60^{\circ}$일 때, AB:DE = 4:8 = 1:2, BC:EF = 6:12 = 1:2 이고 끼인각 $\angle B = \angle E = 60^{\circ}$이므로 SAS 닮음입니다.

3. AA 닮음 (두 각의 크기가 같을 때)

   • 두 삼각형의 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같으면 두 삼각형은 닮음입니다.
   • 삼각형의 내각의 합은 180도이므로, 두 각이 같으면 나머지 한 각도 당연히 같아집니다. 그래서 두 각만 같으면 닮음이 됩니다. 이 조건이 시험에 가장 자주 나오는 중요한 조건입니다!
   • 예시: $\triangle ABC$에서 $\angle A = 30^{\circ}$, $\angle B = 70^{\circ}$이고, $\triangle DEF$에서 $\angle D = 30^{\circ}$, $\angle E = 70^{\circ}$일 때, 두 쌍의 대응각이 같으므로 AA 닮음입니다.

핵심: SSS, SAS, AA 세 가지 조건 중 하나만 만족해도 두 삼각형은 닮음입니다. 특히 AA 닮음은 가장 자주 활용됩니다.

예제: 그림에서 $\triangle ABC$와 $\triangle ADE$가 다음과 같은 관계를 갖는다고 가정해 봅시다. $\angle A$는 공통각이고, 변 AB = 6, 변 AC = 9, 변 AD = 2, 변 AE = 3 입니다.

• $\triangle ADE$와 $\triangle ABC$에서 $\angle A$는 공통각입니다.
• 변 AD : 변 AB = 2 : 6 = 1 : 3
• 변 AE : 변 AC = 3 : 9 = 1 : 3

두 변의 길이의 비가 1:3으로 같고, 그 끼인각 $\angle A$가 공통으로 같으므로 $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (SAS 닮음) 입니다.

3. 평행선과 선분의 비

도형의 닮음 개념은 평행선이 포함된 도형에서 선분의 길이의 비를 구할 때 매우 유용하게 쓰입니다. 핵심은 '평행선이 있으면 닮은 삼각형을 찾을 수 있다'는 것입니다.

1. 삼각형과 평행선: 삼각형 ABC에서 변 BC에 평행한 선분 DE가 변 AB와 AC를 가로지른다고 해봅시다.

   • 이때, $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (AA 닮음)가 됩니다. ($\angle A$는 공통각, $\angle ADE = \angle B$ (동위각), $\angle AED = \angle C$ (동위각))
   • 따라서 대응변의 비가 같아집니다: AD : AB = AE : AC = DE : BC
   • 또한, AD : DB = AE : EC 라는 중요한 관계도 성립합니다. (주의: AD : DB = DE : BC는 아닙니다.)

2. 모래시계 모양의 평행선: 두 선분 AB와 CD가 서로 평행하고, AD와 BC의 교점을 O라고 해봅시다. 마치 모래시계나 나비넥타이 모양이 됩니다.

   • 이때, $\triangle AOB \sim \triangle DOC$ (AA 닮음)가 됩니다. ($\angle AOB = \angle DOC$ (맞꼭지각), $\angle BAO = \angle CDO$ (엇각), $\angle ABO = \angle DCO$ (엇각))
   • 따라서 대응변의 비가 같아집니다: AO : DO = BO : CO = AB : DC

3. 평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비: 세 개 이상의 평행선이 두 개의 다른 직선과 만날 때, 이 평행선들이 각 직선을 나누는 선분의 길이의 비는 같습니다.

   • 세 평행선 l, m, n이 있고, 두 직선 p, q가 이 평행선들을 가로지른다고 가정합니다.
   • 직선 p 위에서 l과 m 사이의 선분 길이를 a, m과 n 사이의 선분 길이를 b라고 하고,
   • 직선 q 위에서 l과 m 사이의 선분 길이를 a', m과 n 사이의 선분 길이를 b'라고 하면,
   • a : b = a' : b'가 성립합니다.

핵심: 평행선이 있으면 닮은 삼각형을 찾을 수 있고, 이를 통해 선분의 길이의 비를 구할 수 있습니다.

예제: 삼각형 ABC에서 변 BC에 평행한 선분 DE가 있습니다. 변 AD = 4cm, 변 DB = 2cm, 변 AE = 6cm일 때, 변 EC의 길이를 구해봅시다.

• DE // BC 이므로 AD : DB = AE : EC 가 성립합니다.
• 4 : 2 = 6 : EC
• $4 \times EC = 2 \times 6$
• $4 \times EC = 12$
• $EC = 12 \div 4 = 3$cm

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공식 정리

닮은 도형의 정의 및 성질 — 두 도형이 닮음일 때, 대응하는 각의 크기는 서로 같고, 대응하는 변의 길이의 비는 일정합니다. (이 일정한 비를 '닮음비'라고 합니다.)

삼각형의 닮음 조건

1. SSS 닮음: 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같을 때.
2. SAS 닮음: 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때.
3. AA 닮음: 두 쌍의 대응각의 크기가 같을 때. (가장 중요!)

평행선과 선분의 비 (삼각형 내 평행선) — $\triangle ABC$에서 $DE \ // \ BC$ 일 때:

• AD : AB = AE : AC = DE : BC
• AD : DB = AE : EC

평행선과 선분의 비 (세 평행선과 두 직선) — 세 평행선이 두 직선과 만날 때, 평행선에 의해 잘리는 두 직선 위의 선분들의 길이의 비는 같습니다.

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시험에 이렇게 나와요

유형 1: 닮은 도형 찾기와 닮음비 구하기

• 출제 패턴: 주어진 도형(주로 다각형이나 원)에서 닮은 도형을 찾아 닮음비를 구하거나, 닮음비를 이용하여 미지의 변의 길이나 각의 크기를 묻는 문제가 자주 나옵니다. 여러 개의 도형이 겹쳐 있거나 복합적인 모양으로 제시될 수 있습니다.
• 접근법: 가장 중요한 것은 '대응하는 꼭짓점', '대응하는 변', '대응하는 각'을 정확히 찾는 것입니다. 특히 닮음 기호(~)에 명시된 꼭짓점의 순서를 주의 깊게 보고, 대응하는 변끼리 짝지어 닮음비를 구해야 합니다.

유형 2: 삼각형의 닮음 조건 활용

• 출제 패턴: 복잡한 도형 안에서 닮은 삼각형을 직접 찾아내고, 어떤 닮음 조건을 만족하는지 밝힌 후 미지의 변의 길이 또는 각의 크기를 구하는 문제가 핵심입니다. 특히 직각삼각형이나 공통각을 가지고 있는 삼각형에서 AA 닮음 조건을 이용하는 문제가 많이 출제됩니다.
• 접근법:
  1. 공통각이 있는지 확인합니다. (예: 한 각을 공유하는 두 삼각형)
  2. 엇각이나 동위각을 통해 같은 각을 찾을 수 있는지 확인합니다. (주로 평행선이 주어졌을 때)
  3. 두 각만 같으면 AA 닮음이므로, 이 방법으로 닮음을 찾는 것이 가장 빠르고 효율적입니다.
  4. 각 정보가 부족할 때는 변의 길이의 비를 이용하여 SSS 닮음이나 SAS 닮음 조건을 적용해 봅니다.

유형 3: 평행선과 선분의 비 응용

• 출제 패턴: 삼각형, 사다리꼴 등 다양한 도형에서 평행선이 주어지고, 이 평행선에 의해 나누어진 선분들의 비를 이용하여 미지의 길이를 구하는 문제가 출제됩니다. 때로는 보조선을 직접 그어 닮은 도형을 만들어야 하는 고난도 문제도 나옵니다.
• 접근법:
  1. 평행선이 보이면 닮은 삼각형을 먼저 찾습니다. 동위각 또는 엇각을 이용하여 AA 닮음을 찾는 경우가 대부분입니다.
  2. 찾은 닮은 삼각형의 대응변의 비를 이용하여 비례식을 세우고 미지의 길이를 구합니다.
  3. 사다리꼴처럼 복잡한 도형에서는 한 꼭짓점을 지나 다른 변에 평행한 보조선을 긋거나, 대각선을 그어 닮은 삼각형을 만드는 연습을 해보세요. 이는 응용 문제를 푸는 데 큰 도움이 됩니다.

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학습 팁

1. 정확한 대응점 파악: 닮은 도형 문제는 어떤 점이 어떤 점에 대응하는지, 어떤 변이 어떤 변에 대응하는지를 정확히 파악하는 것이 문제를 푸는 핵심입니다. 닮음 기호($\sim$)를 사용할 때도 꼭짓점 순서를 대응에 맞게 쓰는 습관을 들이세요.
2. AA 닮음을 먼저 생각하기: 삼각형의 닮음 조건을 찾을 때, 변의 길이 정보보다 각에 대한 정보(공통각, 엇각, 동위각 등)가 주어지거나 유추하기 쉬운 경우가 많습니다. 주어진 정보를 바탕으로 AA 닮음이 되는지 먼저 확인하면 문제 해결 시간을 단축할 수 있습니다.
3. 보조선 활용 연습: 평행선과 선분의 비 단원에서는 보조선을 그어 닮은 도형을 만들거나 평행선을 연장하여 문제를 해결하는 경우가 많습니다. 다양한 문제 유형을 접하며 어떤 상황에서 어떤 보조선을 그려야 할지 감을 익히는 것이 중요합니다.
4. 닮음비와 실제 길이 구분: 닮음비는 단순히 비율일 뿐 실제 길이가 아닙니다. 닮음비를 이용해 비례식을 세울 때, 닮음비와 실제 길이를 혼동하지 않도록 주의해야 합니다. 예를 들어, 닮음비가 1:2일 때 실제 길이가 1cm와 2cm인 것이 아니라, 10cm와 20cm일 수도 있다는 것을 항상 염두에 두세요.