중1 수학 - 수와 연산 완전 정복! (소인수분해, 정수와 유리수, 유리수의 사칙연산)

개요

안녕하세요, 중학교 1학년 친구들! 우리 주변에는 정말 많은 숫자와 계산들이 숨어 있어요. 편의점에서 물건 값을 계산하거나, 내일의 기온을 확인하거나, 심지어 친구들과 게임 점수를 비교할 때도 숫자를 사용하죠.

수학의 첫걸음인 '수와 연산' 단원에서는 이렇게 일상생활에서 만나는 숫자들이 어떤 규칙을 가지고 있는지, 그리고 그 숫자들을 어떻게 다루어야 하는지 배우게 됩니다. 앞으로 배우게 될 모든 수학의 기초가 되는 단원이니, 탄탄하게 다져놓으면 이후의 수학 공부가 훨씬 쉬워질 거예요! 우리 함께 재미있게 파헤쳐 볼까요?

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핵심 개념

1. 소인수분해

자연수를 이해하는 가장 기본적인 방법 중 하나가 바로 소인수분해입니다. 소인수분해를 배우기 전에 몇 가지 중요한 개념들을 먼저 알아볼게요.

• 약수와 배수: 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수를 약수라고 하고, 어떤 수에 정수를 곱해서 얻어지는 수를 배수라고 합니다. (예: 6의 약수는 1, 2, 3, 6이고, 6의 배수는 6, 12, 18, ...)
• 소수: 1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수를 소수라고 합니다. (예: 2, 3, 5, 7, 11, ...)
• 합성수: 1보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수를 합성수라고 합니다. 즉, 1과 자기 자신 외에 다른 약수를 가지는 수입니다. (예: 4, 6, 8, 9, 10, ...)

  주의: 숫자 1은 소수도 합성수도 아닙니다.

• 인수: 어떤 자연수를 두 개 이상의 자연수의 곱으로 나타낼 때, 이들을 그 자연수의 인수라고 합니다. 인수는 약수와 같은 의미입니다.
• 소인수: 인수 중에서 소수인 인수를 소인수라고 합니다.

이제 소인수분해가 무엇인지 알아볼까요? 어떤 자연수를 그 수의 소인수들만의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해라고 합니다. 예를 들어, 12는 $2 \times 2 \times 3$으로 나타낼 수 있죠. 이때 2와 3이 12의 소인수입니다. 같은 수를 여러 번 곱한 것은 거듭제곱이라는 표현을 사용합니다. 예를 들어 $2 \times 2$는 2^2로 나타냅니다.

핵심: 모든 자연수는 소수들만의 곱으로 표현할 수 있습니다. (단, 1은 제외)

예제: 자연수 24를 소인수분해 해 봅시다.

1. 24를 나눌 수 있는 가장 작은 소수(2)로 나눕니다. $24 \div 2 = 12$
2. 몫인 12를 다시 2로 나눕니다. $12 \div 2 = 6$
3. 몫인 6을 다시 2로 나눕니다. $6 \div 2 = 3$
4. 몫인 3은 더 이상 나눌 수 없는 소수입니다. 따라서 $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3$ 이고, 거듭제곱을 사용하여 2^$3 \times 3$ 으로 나타낼 수 있습니다.

2. 정수와 유리수

숫자의 세계를 더 넓혀볼 시간입니다. 우리가 지금까지 알던 0과 양의 자연수 외에도 새로운 수들이 있어요.

• 정수: 정수는 크게 세 가지로 나눌 수 있습니다.

  • 양의 정수: 자연수와 같은 수로, +1, +2, +3, ... 처럼 부호 '+'를 붙이거나 생략할 수 있습니다. (예: 5, +10)
  • 0: 양의 정수도 음의 정수도 아닙니다.
  • 음의 정수: -1, -2, -3, ... 처럼 부호 '-'를 붙여 나타냅니다. (예: -3, -7) 실생활에서는 온도를 나타낼 때 (영상 5도: +5도, 영하 3도: -3도), 또는 해발 고도를 나타낼 때 (해발 100m: +100m, 해저 50m: -50m) 등 다양하게 사용됩니다.

• 수직선: 수직선은 수를 한눈에 보기 쉽게 나타낸 직선입니다. 가운데 0을 기준으로 오른쪽은 양수, 왼쪽은 음수를 나타내며, 오른쪽으로 갈수록 수가 커집니다. 수를 수직선 위에 나타내면 수의 크기 비교가 쉬워집니다.

• 절댓값: 어떤 수의 절댓값은 수직선 위에서 그 수가 원점(0)으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 거리입니다. 기호로는 |a|와 같이 나타내며, 항상 0 또는 양수입니다. (예: |3| = 3, |-3| = 3)

• 유리수: 정수에서 더 나아가, 분수 꼴로 나타낼 수 있는 모든 수를 유리수라고 합니다. 즉, (정수)/(0이 아닌 정수) 꼴로 나타낼 수 있는 수를 말합니다. 정수도 분수 꼴로 나타낼 수 있으므로 유리수에 포함됩니다. (예: 3 = 3/1, -2 = -2/1) 유리수는 크게 정수와 정수가 아닌 유리수로 나눌 수 있습니다.

  • 정수가 아닌 유리수: 분수나 소수로 나타낼 수 있는 수 중에서 정수가 아닌 수입니다. (예: 1/2, -0.7, 3/4)

수의 포함 관계를 정리하면 다음과 같습니다. 자연수 ⊂ 정수 ⊂ 유리수

핵심: 유리수는 분수 꼴로 나타낼 수 있는 모든 수를 말하며, 정수도 유리수의 한 종류입니다.

예제: 다음 수들을 알맞은 곳에 분류하고, 절댓값을 구해 봅시다. +5, -3, 0, $\frac{1}{2}$, -2.5, -$\frac{4}{2}$

• 양의 정수: +5
• 0: 0
• 음의 정수: -3, -4/2 (= -2)
• 정수가 아닌 유리수: 1/2, -2.5
• 절댓값: |+5| = 5, |-3| = 3, |0| = 0, |1/2| = 1/2, |-2.5| = 2.5, |-4/2| = 2

3. 유리수의 사칙연산

정수와 유리수를 가지고 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 하는 방법을 알아볼게요. 부호가 있기 때문에 조금 헷갈릴 수 있지만, 규칙만 잘 익히면 어렵지 않습니다.

• 덧셈:
  • 같은 부호의 덧셈: 절댓값의 합에 공통인 부호를 붙입니다. (예: (+3) + (+2) = +5, (-3) + (-2) = -5)
  • 다른 부호의 덧셈: 절댓값의 차에 절댓값이 큰 수의 부호를 붙입니다. (예: (+5) + (-2) = +3, (+2) + (-5) = -3)
• 뺄셈: 빼는 수의 부호를 바꾸어 덧셈으로 계산합니다. a - b = a + (-b) (예: (+3) - (+5) = (+3) + (-5) = -2, (-2) - (-4) = (-2) + (+4) = +2)
• 곱셈:
  • 부호 결정: 같은 부호끼리 곱하면 양수(+), 다른 부호끼리 곱하면 음수(-)가 됩니다. (+ ) x (+ ) = (+ ) (- ) x (- ) = (+ ) (+ ) x (- ) = (- ) (- ) x (+ ) = (- )
  • 절댓값: 각 수의 절댓값끼리 곱합니다. (예: (+3) x (-2) = -6, (-4) x (-5) = +20)
• 나눗셈: 나누는 수의 역수를 곱하여 계산합니다. a ÷ b = a x (1/b) (단, b는 0이 아니어야 합니다) 역수란, 두 수를 곱했을 때 1이 되는 관계의 수입니다. (예: 2의 역수는 $\frac{1}{2}$, -$\frac{3}{4}$의 역수는 -$\frac{4}{3}$) 나눗셈의 부호 결정은 곱셈과 동일합니다. (예: (+10) ÷ (-2) = (+10) x (-$\frac{1}{2}$) = -5, (-12) ÷ (-3) = (-12) x (-$\frac{1}{3}$) = +4)
• 혼합 계산: 사칙연산이 섞여 있을 때는 순서에 맞게 계산해야 합니다.
  1. 괄호 (소괄호 → 중괄호 → 대괄호) 안을 먼저 계산합니다.
  2. 거듭제곱을 계산합니다.
  3. 곱셈과 나눗셈을 앞에서부터 순서대로 계산합니다.
  4. 덧셈과 뺄셈을 앞에서부터 순서대로 계산합니다.

핵심: 부호 결정 규칙을 정확히 이해하고, 뺄셈은 덧셈으로, 나눗셈은 곱셈으로 바꿔 계산합니다.

예제: 다음 식을 계산해 봅시다. (-2) + 5 x ($3 - 7$) ÷ 2

1. 괄호 안 계산: ($3 - 7$) = 3 + (-7) = -4
2. 식은 (-2) + 5 x (-4) ÷ 2 가 됩니다.
3. 곱셈, 나눗셈 계산: 5 x (-4) = -20
4. 식은 (-2) + (-20) ÷ 2 가 됩니다.
5. 나눗셈 계산: (-20) ÷ 2 = -10
6. 식은 (-2) + (-10) 이 됩니다.
7. 덧셈 계산: (-2) + (-10) = -12

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공식 정리

a^n = a x a x ... x a (a를 n번 곱한 것) — 거듭제곱은 같은 수를 여러 번 곱하는 것을 간단히 나타낸 식입니다.

|a| — 절댓값은 수직선 위에서 원점으로부터 어떤 수까지의 거리를 나타냅니다. 항상 0 또는 양수입니다.

a - b = a + (-b) — 뺄셈은 빼는 수의 부호를 바꾸어 덧셈으로 계산합니다.

a ÷ b = a x (1/b) (단, b ≠ 0) — 나눗셈은 나누는 수의 역수를 곱하는 것으로 바꿀 수 있습니다.

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시험에 이렇게 나와요

유형 1: 소인수분해와 약수의 개수

출제 패턴: 특정 자연수를 소인수분해하거나, 소인수를 찾고, 소인수분해를 이용하여 약수의 개수를 구하는 문제가 자주 나옵니다. 어떤 수의 가장 작은 소인수, 가장 큰 소인수 등을 묻기도 합니다. 접근법: 나눗셈을 반복하거나 가지치기 방법을 이용하여 정확하게 소인수분해하는 것이 가장 중요합니다. 약수의 개수를 구할 때는 소인수분해한 결과에서 각 소인수의 지수에 1을 더한 후, 그 결과들을 모두 곱하면 됩니다.

유형 2: 정수와 유리수의 분류 및 크기 비교

출제 패턴: 주어진 여러 수들을 정수, 유리수, 양의 정수, 음의 유리수 등으로 올바르게 분류하는 문제나, 두 수의 대소 관계를 비교하는 문제가 나옵니다. 절댓값의 개념을 활용하여 수의 크기를 비교하는 문제도 단골 출제 유형입니다. 접근법: 수의 정의를 정확하게 암기하고, 특히 음수는 절댓값이 클수록 실제 값은 작아진다는 것을 명심해야 합니다. 수직선에 수를 표시하여 위치를 파악하면 크기 비교가 훨씬 쉬워집니다.

유형 3: 유리수의 사칙연산 및 혼합 계산

출제 패턴: 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 각각의 계산 능력과 혼합 계산 능력을 평가하는 문제입니다. 특히 부호 결정에서 실수를 유도하는 문제가 많습니다. 접근법: 유리수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 각각의 부호 결정 규칙을 완벽하게 숙지해야 합니다. 혼합 계산은 '괄호 → 거듭제곱 → 곱셈/나눗셈 → 덧셈/뺄셈'의 계산 순서를 정확히 지키는 것이 가장 중요합니다.

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학습 팁

1. 기본 개념 확실히 다지기: 소수, 합성수, 정수, 유리수, 절댓값 등 이 단원에서 나오는 모든 용어의 정의를 정확히 이해하고 넘어가는 것이 중요합니다. 헷갈리는 부분이 있다면 다시 교과서를 펼쳐보고 개념을 재정리하세요.
2. 부호 계산 실수 줄이기: 유리수의 사칙연산, 특히 부호 결정에서 실수가 많이 발생합니다. 귀찮더라도 모든 식의 부호를 꼼꼼하게 확인하면서 계산하는 습관을 들이고, 다양한 문제를 풀어보며 충분히 연습해야 합니다.
3. 수직선 적극 활용하기: 수의 크기 비교나 절댓값의 의미를 이해할 때 수직선을 직접 그려보는 것이 큰 도움이 됩니다. 눈으로 직접 확인하면서 개념을 익히면 추상적인 개념도 훨씬 직관적으로 다가올 수 있습니다.