수학중학교 1학년

중1 작도와 합동 마스터하기: 탄탄한 도형 실력의 시작!

눈금 없는 자와 컴퍼스로 도형을 그리는 '작도'와 모양과 크기가 같은 도형을 판별하는 '합동'에 대해 쉽고 재미있게 배워봅시다. 이 단원은 이후 도형 학습의 든든한 기초가 됩니다.

개요

안녕하세요, 여러분! 중학교 1학년 수학 선생님이자 교육 콘텐츠 작가 쌤이에요. 오늘 우리는 '작도와 합동'이라는 흥미로운 단원을 함께 탐험해 볼 거예요. 작도와 합동은 건축가가 정교한 설계도를 그리거나, 의류 디자이너가 옷을 만들 때, 또는 기술자가 부품을 정확히 조립할 때처럼, 우리 주변의 다양한 분야에서 정확하고 효율적인 작업을 가능하게 하는 중요한 수학적 개념이랍니다.

이 단원을 배우면 여러분은 마치 마법사처럼 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 복잡한 도형을 정확하게 그릴 수 있게 되고, 두 도형이 완전히 똑같은지 판별하는 능력을 갖추게 될 거예요. 이것은 단순히 그림을 그리는 것을 넘어, 도형의 숨겨진 성질을 이해하고 논리적인 사고력을 키우는 데 큰 도움이 됩니다. 앞으로 배우게 될 더 많은 도형 지식의 튼튼한 밑바탕이 될 테니, 기대하는 마음으로 함께 시작해 볼까요?

핵심 개념

1. 삼각형의 작도

'작도'란 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 도형을 그리는 것을 말합니다. 여기서 '눈금 없는 자'는 선분을 긋거나 연장하는 용도로만 사용하고, '컴퍼스'는 길이를 옮기거나 원을 그리는 데 사용해요. 길이를 재거나 각도를 재는 도구(예: 각도기)는 사용할 수 없어요! 우리는 이 두 가지 도구만으로 삼각형을 하나로 결정할 수 있는 세 가지 조건을 배워볼 거예요.

삼각형이 '하나로 결정된다'는 것은, 주어진 조건에 맞춰 삼각형을 그렸을 때, 모든 사람이 똑같은 모양과 크기의 삼각형을 만들 수 있다는 뜻이에요. 이 조건들은 나중에 두 삼각형이 '합동'인지 판별할 때도 아주 중요하게 사용된답니다.

세 변의 길이가 주어질 때 (SSS 작도)
- 예를 들어, 세 변의 길이가 3cm, 4cm, 5cm라고 주어졌을 때, 이 길이들로 만들 수 있는 삼각형은 오직 하나뿐입니다.
- 작도 방법:
  1. 가장 긴 변을 먼저 그립니다.
  2. 두 끝점에서 나머지 두 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 각각 그립니다.
  3. 두 원이 만나는 점과 선분의 양 끝점을 이으면 삼각형이 완성됩니다.
- 주의할 점: 삼각형이 만들어지려면 가장 긴 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 작아야 합니다. (예: 2cm, 3cm, 6cm로는 삼각형을 만들 수 없어요. 2+3=5 < 6 이기 때문이죠.)
두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어질 때 (SAS 작도)
- 두 변의 길이가 4cm, 5cm이고, 그 두 변 사이에 있는 각(끼인각)의 크기가 60도라고 주어졌을 때, 이 조건으로 만들 수 있는 삼각형은 오직 하나입니다.
- 작도 방법:
  1. 주어진 두 변 중 한 변을 먼저 그립니다.
  2. 그 선분의 한쪽 끝점에 주어진 끼인각과 같은 크기의 각을 작도합니다.
  3. 각을 작도한 선 위에 나머지 변의 길이를 컴퍼스로 표시하고, 그 점과 처음 선분의 다른 끝점을 이으면 삼각형이 완성됩니다.
한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어질 때 (ASA 작도)
- 한 변의 길이가 5cm이고, 그 선분의 양 끝 각이 각각 40도, 70도라고 주어졌을 때, 이 조건으로 만들 수 있는 삼각형은 오직 하나입니다.
- 작도 방법:
  1. 주어진 한 변을 먼저 그립니다.
  2. 그 선분의 양 끝점에 주어진 두 각과 같은 크기의 각을 각각 작도합니다.
  3. 두 각을 작도한 선이 만나는 점이 나머지 꼭짓점이 되며, 이를 양 끝점과 이으면 삼각형이 완성됩니다.
- 주의할 점: 삼각형의 세 내각의 합은 180도이므로, 두 각의 크기를 알면 나머지 한 각의 크기도 알 수 있어요. 따라서 두 각과 '어느 한 변'의 길이가 주어져도 ASA 작도를 할 수 있습니다.

핵심: 삼각형은 SSS, SAS, ASA 조건 중 어느 하나만 만족하면 '오직 하나'로 결정됩니다.

예제: 두 변의 길이가 6cm, 7cm이고 그 끼인각이 75°인 삼각형을 작도한다고 가정해봅시다.

먼저 눈금 없는 자를 이용하여 6cm 또는 7cm 길이의 선분 (예: 6cm)을 그립니다.
선분의 한쪽 끝점에서 컴퍼스와 눈금 없는 자를 사용하여 75°의 각을 작도합니다. (75°는 60°와 90°를 활용하여 작도할 수 있습니다. 60°를 작도한 후, 60°와 90° 사이의 각을 이등분하여 75°를 만듭니다.)
작도된 75° 각의 한 변 위에 컴퍼스로 7cm 길이를 표시합니다.
표시된 점과 처음 그린 선분의 다른 끝점을 이으면, 주어진 조건을 만족하는 삼각형이 하나로 완성됩니다.

2. 삼각형의 합동 조건

'합동'이란 두 도형이 모양과 크기가 완전히 같아서, 서로 포개었을 때 완전히 겹쳐지는 것을 말합니다. 합동인 두 도형은 떼어낼 수 없는 '쌍둥이' 같은 관계라고 생각하면 돼요. 기호로는 '≅' (합동 기호)를 사용합니다. 예를 들어, 삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 합동이라면, '삼각형 ABC ≅ 삼각형 DEF'로 나타냅니다.

두 삼각형이 합동이면, 당연히 모든 '대응하는' 변의 길이와 대응하는 각의 크기가 각각 같습니다. 여기서 '대응'이라는 말은 포개었을 때 서로 겹쳐지는 부분(점, 변, 각)을 의미해요. 삼각형의 합동 조건은 우리가 위에서 배운 삼각형의 작도 조건과 정확히 일치합니다.

SSS 합동 (변-변-변 합동)
- 두 삼각형의 세 쌍의 대응변의 길이가 각각 같을 때 두 삼각형은 SSS 합동입니다.
- 예시: AB = DE, BC = EF, CA = FD 이면 삼각형 ABC ≅ 삼각형 DEF
SAS 합동 (변-각-변 합동)
- 두 삼각형의 두 쌍의 대응변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때 두 삼각형은 SAS 합동입니다.
- 여기서 '끼인각'이 중요해요! 두 변 사이에 있는 각이어야 합니다.
- 예시: AB = DE, 각 B = 각 E, BC = EF 이면 삼각형 ABC ≅ 삼각형 DEF
ASA 합동 (각-변-각 합동)
- 두 삼각형의 한 쌍의 대응변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같을 때 두 삼각형은 ASA 합동입니다.
- 여기서 '양 끝 각'이 중요해요! 같은 변의 양 끝에 있는 각이어야 합니다.
- 예시: 각 A = 각 D, AB = DE, 각 B = 각 E 이면 삼각형 ABC ≅ 삼각형 DEF

핵심: 두 삼각형이 합동이 되려면 SSS, SAS, ASA 중 어느 한 조건을 만족해야 합니다.

예제: 아래 두 삼각형이 합동인지 판별해 봅시다. 삼각형 ABC에서 AB = 5cm, BC = 6cm, 각 B = 70° 이고, 삼각형 DEF에서 DE = 5cm, EF = 6cm, 각 E = 70° 라고 주어졌다고 해봅시다.

이 두 삼각형은 AB = DE (5cm), BC = EF (6cm)로 두 변의 길이가 각각 같고, 그 사이에 있는 각 B = 각 E (70°)로 끼인각의 크기도 같습니다. 따라서 이 두 삼각형은 SAS 합동입니다.

공식 정리

삼각형이 하나로 결정되는 조건

세 변의 길이가 주어질 때 (단, 가장 긴 변의 길이 < 나머지 두 변의 길이의 합)

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어질 때

한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어질 때

삼각형의 합동 조건

SSS 합동: 세 쌍의 대응변의 길이가 각각 같을 때

SAS 합동: 두 쌍의 대응변의 길이가 같고 그 끼인각의 크기가 같을 때

ASA 합동: 한 쌍의 대응변의 길이가 같고 그 양 끝 각의 크기가 각각 같을 때

시험에 이렇게 나와요

유형 1: 삼각형이 하나로 정해지는 조건 찾기

이 유형은 주어진 여러 조건 중에서 삼각형을 하나로 만들 수 있는 경우를 고르거나, 그렇게 할 수 없는 이유를 묻는 문제로 자주 출제됩니다. 특히 '가장 긴 변의 길이 < 나머지 두 변의 길이의 합'이라는 삼각형 결정 조건을 놓치면 안 됩니다. 또한, SSA (두 변과 끼인각이 아닌 다른 각) 조건은 삼각형을 하나로 결정하지 못한다는 점도 꼭 기억하세요! 꼼꼼하게 각 조건을 SSS, SAS, ASA에 대입해보고, 삼각형 결정 조건을 항상 확인하는 연습이 필요합니다.

유형 2: 합동인 삼각형 찾기 또는 합동 조건 말하기

주어진 그림에서 합동인 두 삼각형을 찾아내고, 어떤 합동 조건(SSS, SAS, ASA)에 의해 합동인지 밝히는 문제가 많이 나옵니다. 이때, 그림에 직접 표시되어 있지 않더라도, '공통으로 포함된 변'이나 '맞꼭지각', '평행선에서의 엇각 또는 동위각' 등 숨겨진 조건을 찾아내는 것이 중요합니다. 예를 들어, 두 삼각형이 공통 변을 가지고 있거나, 두 선분이 한 점에서 만나서 생기는 맞꼭지각이 같다면, 이런 숨겨진 정보들을 활용하여 합동 조건을 완성할 수 있습니다.

학습 팁

용어 정확히 이해하기: '작도', '합동', '대응점', '대응변', '대응각', '끼인각', '양 끝 각' 등 핵심 용어의 의미를 정확하게 파악하고 머릿속에 정리해 두세요. 개념을 정확히 알아야 문제를 풀 때 헷갈리지 않습니다.
직접 작도 연습하기: 눈금 없는 자와 컴퍼스를 준비해서 다양한 삼각형 작도 연습을 직접 해보세요. SSS, SAS, ASA 조건에 맞춰 여러 삼각형을 작도하다 보면, 각 조건의 의미를 더욱 깊이 이해할 수 있고, 도형 감각도 향상될 거예요. 눈으로만 보는 것과 직접 해보는 것은 천지 차이입니다!
숨겨진 조건 찾기 연습: 합동 문제를 풀 때는 주어진 정보 외에 숨겨진 정보를 찾아내는 것이 중요합니다. '공통변', '맞꼭지각', 평행선에서 발생하는 '엇각'이나 '동위각' 등은 삼각형의 합동을 증명할 때 아주 유용하게 쓰입니다. 다양한 문제를 풀어보며 이런 숨겨진 조건들을 발견하는 연습을 꾸준히 해보세요.

이 단원은 앞으로 배우게 될 많은 도형 단원의 기초가 됩니다. 개념을 확실히 잡고 꾸준히 연습하면, 도형이 정말 재미있고 쉬워질 거예요! 여러분 모두 화이팅입니다!

✏️ 문제 풀어보러 가기 (3문제)

#수학#작도와 합동

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