미적분 심화: 미분법, 완벽하게 마스터하고 수능 킬러문항까지 정복!

개요

미적분 단원의 '미분법'은 수능 수학에서 가장 중요하고 출제 비중이 높은 핵심 단원 중 하나입니다. 이 단원에서는 다항함수에 국한되었던 미분의 개념을 넘어, 지수함수, 로그함수, 삼각함수 등 다양한 함수로 확장하고, 여러 가지 복잡한 형태의 함수를 미분하는 방법을 학습합니다.

이후에는 도함수를 활용하여 함수의 증가와 감소, 극대와 극소, 그래프 개형을 분석하고, 나아가 최대/최소 문제, 속도/가속도 등 실생활 문제까지 해결하는 능력을 기르게 됩니다. 수능에서는 미분법의 기본 공식을 정확히 아는지부터 시작하여, 여러 미분법을 복합적으로 적용하고, 도함수의 활용을 통해 함수의 성질을 추론하는 심화 문제까지 폭넓게 출제됩니다. 특히 그래프 개형 추론 문제는 미적분 킬러 문항으로 자주 등장하므로, 이 단원의 개념을 완벽하게 이해하고 다양한 문제 해결 능력을 키우는 것이 고득점의 핵심입니다.

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핵심 개념

1. 여러 가지 함수의 미분

이제 우리는 다항함수만을 미분하던 시절을 넘어, 더 넓은 함수의 세계로 나아갑니다. 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 그리고 그들의 역함수까지 미분하는 방법을 배우게 됩니다.

1.1. 지수함수의 미분

지수함수는 자연상수 $e$를 밑으로 하는 경우와 일반적인 $a$를 밑으로 하는 경우로 나뉩니다.

• $y = e^x$ 의 미분 $y' = (e^x)' = e^x$

  자연상수 $e$를 밑으로 하는 지수함수는 미분해도 자기 자신이 되는 독특한 성질을 가집니다.

• $y = a^x$ (단, $a > 0, a \neq 1$) 의 미분 $y' = (a^x)' = a^x \ln a$

  일반적인 지수함수는 $a^x$에 자연로그 $\ln a$를 곱해줍니다.

예제: 함수 $f(x) = 2^{3x}$를 미분하시오. 풀이: 합성함수의 미분법을 이용하면 $f'(x) = 2^{3x} \ln 2 \cdot (3x)' = 2^{3x} \ln 2 \cdot 3 = 3 \cdot 2^{3x} \ln 2$ 입니다.

1.2. 로그함수의 미분

로그함수 또한 자연로그 $\ln x$와 일반적인 $\log_a x$로 나뉩니다.

• $y = \ln x$ (단, $x > 0$) 의 미분 $y' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

  자연로그 함수는 미분하면 $\frac{1}{x}$이 됩니다.

• $y = \log_a x$ (단, $a > 0, a \neq 1, x > 0$) 의 미분 $y' = (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$

  일반적인 로그함수는 $\frac{1}{x}$에 $\frac{1}{\ln a}$를 곱해줍니다.

예제: 함수 $f(x) = \log_3 (x^2+1)$를 미분하시오. 풀이: 합성함수의 미분법을 이용하면 $f'(x) = \frac{1}{(x^2+1) \ln 3} \cdot (x^2+1)' = \frac{2x}{(x^2+1) \ln 3}$ 입니다.

1.3. 삼각함수의 미분

기본적인 삼각함수 ($\sin x, \cos x, \tan x$)와 그 역수 관계의 삼각함수 ($\sec x, \csc x, \cot x$)의 미분을 학습합니다.

• $y = \sin x$ 의 미분 $y' = (\sin x)' = \cos x$

• $y = \cos x$ 의 미분 $y' = (\cos x)' = -\sin x$

• $y = \tan x$ 의 미분 $y' = (\tan x)' = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

• $y = \sec x = \frac{1}{\cos x}$ 의 미분 $y' = (\sec x)' = \sec x \tan x$

• $y = \csc x = \frac{1}{\sin x}$ 의 미분 $y' = (\csc x)' = -\csc x \cot x$

• $y = \cot x = \frac{1}{\tan x}$ 의 미분 $y' = (\cot x)' = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$

삼각함수 미분 공식 중 '코'로 시작하는 함수($\cos x, \csc x, \cot x$)는 미분 결과에 마이너스 부호가 붙는다는 점을 기억하면 암기에 도움이 됩니다.

예제: 함수 $f(x) = \tan (2x-\frac{\pi}{4})$를 미분하시오. 풀이: 합성함수의 미분법을 이용하면 $f'(x) = \sec^2 (2x-\frac{\pi}{4}) \cdot (2x-\frac{\pi}{4})' = 2 \sec^2 (2x-\frac{\pi}{4})$ 입니다.

2. 여러 가지 미분법

복잡한 형태의 함수를 미분하기 위한 다양한 기술들을 배웁니다.

2.1. 합성함수의 미분법 (Chain Rule)

함수 $y=f(u)$이고 $u=g(x)$일 때, $y=f(g(x))$의 미분법입니다.

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ 또는 $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ 이 공식은 가장 중요하고 자주 사용되므로 완벽하게 익혀야 합니다.

예제: 함수 $y = \sin^3 x$를 미분하시오. 풀이: $y = (\sin x)^3$으로 보고, $u = \sin x$라 하면 $y = u^3$입니다. $\frac{dy}{du} = 3u^2$, $\frac{du}{dx} = \cos x$ 이므로 $\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot \cos x = 3(\sin x)^2 \cos x = 3 \sin^2 x \cos x$ 입니다.

2.2. 음함수의 미분법

$x$와 $y$의 관계가 $y=f(x)$처럼 명시적으로 주어지지 않고 $F(x,y)=0$과 같이 음함수 형태로 주어졌을 때 미분하는 방법입니다. $y$를 $x$에 대한 함수로 보고 각 항을 $x$에 대해 미분하되, $y$에 대한 식을 미분할 때는 합성함수의 미분법을 적용하여 $(y)' = \frac{dy}{dx}$를 곱해줍니다.

예제: 방정식 $x^2 + y^2 = 9$ (단, $y > 0$)에서 $\frac{dy}{dx}$를 구하시오. 풀이: 양변을 $x$에 대해 미분하면: $(x^2)' + (y^2)' = (9)'$ $2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$ $2y \frac{dy}{dx} = -2x$ $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$ 입니다.

2.3. 매개변수로 나타낸 함수의 미분법

함수 $x$와 $y$가 모두 매개변수 $t$로 표현될 때 ($x=f(t), y=g(t)$) $\frac{dy}{dx}$를 구하는 방법입니다.

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ (단, $\frac{dx}{dt} \neq 0$)

예제: $x = t^2+1$, $y = t^3-t$ 일 때, $\frac{dy}{dx}$를 구하시오. 풀이: $\frac{dx}{dt} = 2t$ $\frac{dy}{dt} = 3t^2-1$ 따라서 $\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2-1}{2t}$ 입니다.

2.4. 역함수의 미분법

함수 $y=f(x)$의 역함수 $x=f^{-1}(y)$의 미분법입니다.

$(f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ (단, $f'(f^{-1}(x)) \neq 0$) 또는 $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ 로 생각할 수 있습니다. (여기서 $\frac{dy}{dx}$는 $y=f(x)$를 $x$에 대해 미분한 것입니다.)

예제: 함수 $f(x) = x^3+x+1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $g'(3)$을 구하시오. 풀이: 먼저 $g(3)$의 값을 구합니다. $g(3)=a$라 하면 $f(a)=3$입니다. $a^3+a+1=3 \Rightarrow a^3+a-2=0$ $(a-1)(a^2+a+2)=0$ 이므로 $a=1$입니다. 즉 $g(3)=1$. 이제 역함수의 미분법을 사용합니다. $f'(x) = 3x^2+1$ $g'(3) = \frac{1}{f'(g(3))} = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{3(1)^2+1} = \frac{1}{4}$ 입니다.

2.5. 로그 미분법

함수가 여러 개의 함수들의 곱, 몫, 거듭제곱 등으로 복잡하게 표현될 때, 양변에 절댓값 자연로그를 취하여 간단하게 미분하는 방법입니다.

• 절댓값 자연로그를 취한 후 $\ln|f(x)|$를 미분하면 $\frac{f'(x)}{f(x)}$가 됩니다.

예제: 함수 $y = \frac{(x-1)^2}{\sqrt{x+1}}$를 미분하시오. 풀이: 양변에 절댓값 자연로그를 취하면 $\ln|y| = \ln \left| \frac{(x-1)^2}{\sqrt{x+1}} \right| = 2\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1|$ 양변을 $x$에 대해 미분하면: $\frac{y'}{y} = \frac{2}{x-1} - \frac{1}{2(x+1)}$ $y' = y \left( \frac{2}{x-1} - \frac{1}{2(x+1)} \right) = \frac{(x-1)^2}{\sqrt{x+1}} \left( \frac{2}{x-1} - \frac{1}{2(x+1)} \right)$ $y' = \frac{(x-1)^2}{\sqrt{x+1}} \left( \frac{4(x+1) - (x-1)}{2(x-1)(x+1)} \right) = \frac{(x-1)^2}{\sqrt{x+1}} \left( \frac{3x+5}{2(x-1)(x+1)} \right)$ $y' = \frac{(x-1)(3x+5)}{2(x+1)\sqrt{x+1}} = \frac{(x-1)(3x+5)}{2(x+1)^{3/2}}$ 입니다.

3. 도함수의 활용

미분계수와 도함수는 단순히 계산의 도구가 아니라, 함수의 그래프를 이해하고 문제 해결에 적용하는 강력한 도구입니다.

3.1. 접선의 방정식

점 $(x_1, y_1)$에서 곡선 $y=f(x)$에 접하는 접선의 기울기는 $f'(x_1)$입니다.

접선의 방정식: $y - y_1 = f'(x_1)(x - x_1)$ 접선의 방정식 문제는 다음 세 가지 유형으로 출제됩니다.

1. 곡선 위의 한 점이 주어질 때
2. 기울기가 주어질 때
3. 곡선 밖의 한 점이 주어질 때

예제: 곡선 $y = e^x$ 위의 점 $(1, e)$에서의 접선의 방정식을 구하시오. 풀이: $f(x) = e^x$ 이므로 $f'(x) = e^x$. 점 $(1, e)$에서의 접선의 기울기는 $f'(1) = e^1 = e$ 입니다. 따라서 접선의 방정식은 $y - e = e(x - 1)$ 이고, 정리하면 $y = ex - e + e$, 즉 $y = ex$ 입니다.

3.2. 롤의 정리와 평균값 정리

미분의 기본적인 성질을 이해하는 중요한 정리입니다.

• 롤의 정리 (Rolle's Theorem) 함수 $f(x)$가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린 구간 $(a, b)$에서 미분 가능하며 $f(a) = f(b)$이면, $f'(c) = 0$인 $c$가 열린 구간 $(a, b)$ 안에 적어도 하나 존재한다.

  $f(a)=f(b)$이고 미분 가능한 함수라면, $a$와 $b$ 사이에 접선의 기울기가 0인 점이 반드시 존재한다.

• 평균값 정리 (Mean Value Theorem) 함수 $f(x)$가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린 구간 $(a, b)$에서 미분 가능하면, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$인 $c$가 열린 구간 $(a, b)$ 안에 적어도 하나 존재한다.

  두 점 $(a, f(a))$와 $(b, f(b))$를 잇는 직선의 기울기와 같은 접선의 기울기를 갖는 점이 $a$와 $b$ 사이에 반드시 존재한다. 롤의 정리는 평균값 정리의 특수한 경우($f(b)-f(a)=0$)입니다.

3.3. 함수의 증가와 감소, 극대와 극소

도함수의 부호를 통해 함수의 증가/감소를 판단하고, 이를 바탕으로 극대/극소를 찾습니다.

• 증가/감소: $f'(x) > 0$ 이면 $f(x)$는 증가합니다. $f'(x) < 0$ 이면 $f(x)$는 감소합니다. (등호는 $f'(x)=0$인 점이 유한개일 때 포함하여 생각합니다.)

• 극대/극소: $f(x)$가 어떤 열린 구간에서 연속일 때, $x=a$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌면 $f(a)$는 극댓값입니다. $x=a$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 바뀌면 $f(a)$는 극솟값입니다. 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라고 합니다. 극값을 갖는 점에서는 $f'(x)=0$ 이거나 $f'(x)$가 존재하지 않습니다. (역은 성립하지 않습니다. $f'(x)=0$ 이지만 극값이 아닌 경우도 있습니다.)

• 이계도함수를 이용한 판정 (Second Derivative Test) $f'(a)=0$일 때, $f''(a) < 0$ 이면 $f(a)$는 극댓값입니다. $f''(a) > 0$ 이면 $f(a)$는 극솟값입니다. $f''(a) = 0$ 이면 판정할 수 없습니다.

3.4. 함수의 오목과 볼록, 변곡점

이계도함수의 부호를 통해 함수의 그래프가 어느 방향으로 휘어져 있는지 (오목/볼록) 판단합니다.

• 오목/볼록: $f''(x) > 0$ 이면 $f(x)$는 아래로 볼록 (혹은 위로 오목) 합니다. $f''(x) < 0$ 이면 $f(x)$는 위로 볼록 (혹은 아래로 오목) 합니다.

• 변곡점: $f(x)$가 연속 함수이고 $f''(x)$의 부호가 바뀌는 점을 변곡점이라고 합니다. 변곡점에서는 $f''(x)=0$ 이거나 $f''(x)$가 존재하지 않습니다. (역은 성립하지 않습니다.)

3.5. 함수의 그래프 개형

도함수와 이계도함수의 부호를 종합하여 함수의 그래프를 정확하게 그리는 연습이 중요합니다.

1. 정의역, 치역, 대칭성, 주기성을 파악합니다.
2. 절편 (x축, y축)을 구합니다.
3. $f'(x)$를 구하여 증가/감소 구간과 극값을 찾습니다.
4. $f''(x)$를 구하여 오목/볼록 구간과 변곡점을 찾습니다.
5. 필요하다면 점근선을 파악합니다 (무한대로 갈 때, 분모가 0이 될 때).
6. 위 정보들을 종합하여 그래프를 그립니다.

3.6. 함수의 최대와 최소

닫힌 구간에서 연속인 함수의 최대/최소는 극값과 양 끝값 중에서 찾습니다. 열린 구간이거나 모든 실수 범위에서는 그래프 개형을 통해 극값이 최대/최소가 되는지, 점근선이나 극한값을 고려하여 판단합니다.

3.7. 속도와 가속도 (평면 운동)

좌표평면 위를 움직이는 점 $(x, y)$의 위치가 시각 $t$에 대한 함수 $x=f(t), y=g(t)$로 주어질 때,

• 위치 벡터: $\vec{p}(t) = (f(t), g(t))$
• 속도 벡터: $\vec{v}(t) = (f'(t), g'(t))$
  • 속도: $f'(t)$, $g'(t)$
  • 속력: $|\vec{v}(t)| = \sqrt{(f'(t))^2 + (g'(t))^2}$
• 가속도 벡터: $\vec{a}(t) = (f''(t), g''(t))$
  • 가속도: $f''(t)$, $g''(t)$
  • 가속도의 크기: $|\vec{a}(t)| = \sqrt{(f''(t))^2 + (g''(t))^2}$

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주요 공식 정리

| 공식 | 설명 | |------|------| | $(e^x)' = e^x$ | 자연 지수함수의 미분 | | $(a^x)' = a^x \ln a$ | 일반 지수함수의 미분 | | $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ | 자연 로그함수의 미분 | | $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$ | 일반 로그함수의 미분 | | $(\sin x)' = \cos x$ | 사인 함수의 미분 | | $(\cos x)' = -\sin x$ | 코사인 함수의 미분 | | $(\tan x)' = \sec^2 x$ | 탄젠트 함수의 미분 | | $(\sec x)' = \sec x \tan x$ | 시컨트 함수의 미분 | | $(\csc x)' = -\csc x \cot x$ | 코시컨트 함수의 미분 | | $(\cot x)' = -\csc^2 x$ | 코탄젠트 함수의 미분 | | $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ | 합성함수의 미분법 (연쇄법칙) | | $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ | 매개변수 함수의 미분법 | | $(f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ | 역함수의 미분법 | | $\frac{y'}{y} = (\ln|y|)'$ | 로그 미분법의 핵심 원리 | | $y - y_1 = f'(x_1)(x - x_1)$ | 접선의 방정식 | | $f'(x) > 0 \implies$ 증가 | 도함수를 이용한 증가/감소 판정 | | $f'(x) < 0 \implies$ 감소 | 도함수를 이용한 증가/감소 판정 | | $f''(x) > 0 \implies$ 아래로 볼록 | 이계도함수를 이용한 오목/볼록 판정 | | $f''(x) < 0 \implies$ 위로 볼록 | 이계도함수를 이용한 오목/볼록 판정 | | 속력: $\sqrt{(f'(t))^2 + (g'(t))^2}$ | 평면 운동에서의 속력 |

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자주 나오는 유형

미분법 단원은 수능에서 매우 다양한 형태로 출제되지만, 특히 빈출되는 유형들이 있습니다.

유형 1: 합성함수 미분법을 이용한 함수의 극한 및 미분계수

복잡한 형태의 함수나 여러 함수가 결합된 형태에서 미분계수를 구하거나, 미분 가능한 함수의 정의를 이용한 극한값을 구하는 문제입니다. 삼각함수, 지수함수, 로그함수 등이 합성된 형태로 자주 나옵니다. 출제 패턴 설명과 접근 방법: 주어진 함수가 $f(g(x))$ 형태이거나, $f(x)g(x)$ 또는 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 형태일 때, 각 미분법을 정확히 적용하는 것이 중요합니다. 특히 합성함수의 미분법은 거의 모든 미분 문제에 기본적으로 깔려 있으므로, $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ 형태를 실수 없이 적용해야 합니다. 미분 가능성을 이용하는 극한 문제의 경우, 미분계수의 정의 $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 또는 $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 형태를 만들어 해결합니다. 여러 가지 함수가 섞여 나올 때도 당황하지 않고 기본 공식들을 떠올려 차근차근 해결하는 연습이 필요합니다.

유형 2: 도함수의 활용 (접선, 극대/극소, 그래프 개형 추론)

다양한 형태의 함수 (지수, 로그, 삼각함수 등)에 대해 접선의 방정식을 구하거나, 함수의 극값, 증가/감소, 오목/볼록을 판단하여 그래프의 개형을 추론하는 문제입니다. 주어진 조건에 맞는 미정계수를 결정하는 문제도 많이 나옵니다. 출제 패턴 설명과 접근 방법: 이 유형은 수능 미적분에서 고난도 문항으로 자주 출제됩니다.

1. 접선의 방정식: 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선 문제는 접점을 $(t, f(t))$로 설정하고 접선의 방정식을 세운 후, 주어진 점을 대입하여 $t$값을 찾아야 합니다.
2. 극대/극소, 그래프 개형: $f'(x)$의 부호 변화를 통해 극값을 찾고, $f''(x)$의 부호 변화를 통해 변곡점과 오목/볼록을 파악하는 것이 핵심입니다. 특히, 최고차항 계수가 미지수인 3차, 4차 함수와 지수/로그/삼각함수가 곱해진 함수의 개형 추론은 수능 킬러 문항으로 자주 등장합니다. 함수의 그래프를 추론할 때는 정의역, 치역, 대칭성, 점근선, 극한값 등을 종합적으로 고려해야 합니다.

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연습문제

연습 1 (기본)

함수 $f(x) = x e^{2x}$에 대하여 $f'(1)$의 값은?

(1) $3e^2$ (2) $2e^2$ (3) $e^2$ (4) $3e$ (5) $2e$

정답 및 풀이 보기

정답: (1)

풀이: 주어진 함수 $f(x) = x e^{2x}$는 두 함수의 곱으로 이루어져 있으므로 곱의 미분법과 합성함수의 미분법을 함께 사용합니다. $(uv)' = u'v + uv'$ 이므로, $u=x, v=e^{2x}$ 라 하면 $u'=1, v' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$ 입니다. 따라서 $f'(x) = (1) \cdot e^{2x} + x \cdot (2e^{2x}) = e^{2x} + 2x e^{2x} = e^{2x}(1+2x)$ 입니다. $f'(1)$을 계산하면: $f'(1) = e^{2(1)}(1+2(1)) = e^2(1+2) = 3e^2$ 입니다.

연습 2 (심화)

함수 $f(x) = x \ln x$에 대하여, 곡선 $y=f(x)$에 접하고 기울기가 $1$인 직선의 방정식을 $y=ax+b$라 할 때, $a+b$의 값을 구하시오.

정답 및 풀이 보기

정답: 0

풀이: $f(x) = x \ln x$ 이므로, $f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$ 입니다. 기울기가 $1$인 접선의 접점의 $x$좌표를 $t$라고 하면 $f'(t) = 1$이 되어야 합니다. $\ln t + 1 = 1$ $\ln t = 0$ $t = e^0 = 1$ 따라서 접점의 $x$좌표는 $1$이고, $y$좌표는 $f(1) = 1 \ln 1 = 1 \cdot 0 = 0$ 입니다. 접점은 $(1, 0)$이고 기울기는 $1$이므로, 접선의 방정식은 $y - 0 = 1(x - 1)$ 입니다. $y = x - 1$ 따라서 $a=1, b=-1$ 입니다. $a+b = 1+(-1) = 0$ 입니다.

연습 3 (도전)

함수 $f(x) = e^{2x} + x$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $g'(1)$의 값을 구하시오.

정답 및 풀이 보기

정답: $\frac{1}{3}$

풀이: 함수 $f(x) = e^{2x} + x$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $g'(1)$을 구해야 합니다. 역함수의 미분법 공식은 $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$ 입니다. 먼저 $g(1)$의 값을 찾아야 합니다. $g(1)=a$라고 하면 $f(a)=1$ 입니다. $e^{2a} + a = 1$ 이 식을 만족하는 $a$를 찾아야 합니다. $a=0$을 대입하면 $e^{2 \cdot 0} + 0 = e^0 + 0 = 1+0=1$ 이 됩니다. 따라서 $a=0$, 즉 $g(1)=0$ 입니다. 이제 $f'(x)$를 구합니다. $f'(x) = (e^{2x} + x)' = e^{2x} \cdot (2x)' + 1 = 2e^{2x} + 1$. 이제 $f'(g(1)) = f'(0)$을 계산합니다. $f'(0) = 2e^{2 \cdot 0} + 1 = 2e^0 + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. 마지막으로 $g'(1) = \frac{1}{f'(g(1))} = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{3}$ 입니다.

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학습 팁

미분법은 미적분 학습의 핵심이자 수능 고득점을 위한 필수 관문입니다. 단순히 공식을 암기하는 것을 넘어, 각 개념이 어떤 의미를 가지는지 이해하고 문제에 적용하는 능력을 키워야 합니다.

1. 기본 공식 완벽 암기 및 숙달: 지수, 로그, 삼각함수의 미분 공식은 기본 중의 기본입니다. 완벽하게 암기하고, 다양한 형태의 합성함수에 적용하는 연습을 충분히 해야 합니다. 계산 실수는 절대 금물!
2. 연쇄 법칙 (합성함수 미분법)의 생활화: 미적분 문제의 90% 이상은 합성함수의 미분법을 직간접적으로 사용합니다. 머리가 아닌 손이 기억할 정도로 많은 문제를 풀어보며 익숙해져야 합니다.
3. 도함수의 활용은 그래프와 함께: 증가/감소, 극대/극소, 오목/볼록, 변곡점, 최대/최소, 심지어 속도/가속도 문제까지 모두 함수의 그래프 개형과 밀접하게 연결됩니다. 도함수와 이계도함수의 부호 변화가 그래프에 어떻게 반영되는지 끊임없이 생각하고, 다양한 함수의 그래프를 직접 그려보는 연습을 하세요. 이는 수능 킬러 문항 해결의 핵심 열쇠입니다.
4. 역함수 미분법은 정의부터 이해: 역함수 미분법은 공식 자체보다 $f(g(x))=x$ 또는 $f(a)=b \iff g(b)=a$ 관계를 활용하는 경우가 많습니다. 특히 $g(x)$의 미분값을 구할 때 $g(x_0)$의 값을 먼저 찾아 $f(x)$에 대입하는 과정을 놓치지 마세요.
5. 다양한 문제 유형 경험: 교과서 예제부터 시작하여 수능 기출문제, 평가원 모의고사 문제까지 난이도별로 다양한 문제를 풀어보세요. 특히 여러 미분법이 복합적으로 사용되거나, 삼각함수, 지수함수, 로그함수의 성질과 함께 도함수의 활용이 요구되는 고난도 문제에 대한 대비를 철저히 해야 합니다.