수능 수학I 삼각함수, 완벽 마스터! (정의, 그래프, 활용)

정답: (4)

풀이: $an heta = \\frac{y}{x} = -\\frac{3}{4}$이고, $heta$가 제4사분면의 각이므로 $x>0, y<0$입니다. $x=4k, y=-3k$ ($k>0$)로 놓으면, 원점으로부터의 거리 $r = \\sqrt{(4k)^2 + (-3k)^2} = \\sqrt{16k^2 + 9k^2} = \\sqrt{25k^2} = 5k$입니다. 따라서 $\sin heta = \\frac{y}{r} = \\frac{-3k}{5k} = -\\frac{3}{5}$이고, $\cos heta = \\frac{x}{r} = \\frac{4k}{5k} = \\frac{4}{5}$입니다.

$\sin heta + \cos heta = -\\frac{3}{5} + \\frac{4}{5} = \\frac{1}{5}$

정답: (5)

풀이: 함수 $f(x) = 2\sin(\\frac{\pi}{2}x - \\frac{\pi}{2}) + 3$를 변형하면 $f(x) = 2\sin\\left(\\frac{\pi}{2}(x-1)\\right) + 3$ 입니다.

ㄱ. 주기: $\\frac{2\pi}{|b|} = \\frac{2\pi}{|\\frac{\pi}{2}|} = \\frac{2\pi}{\\frac{\pi}{2}} = 4$. (참)

ㄴ. 최댓값: $|a|+d = |2|+3 = 5$. 최솟값: $-|a|+d = -|2|+3 = 1$. (참)

ㄷ. $\sin(\\frac{\pi}{2}x - \\frac{\pi}{2}) = \sin(-\\frac{\pi}{2} + \\frac{\pi}{2}x)$. 각 변환 공식을 사용합니다. $\sin(-\\frac{\pi}{2} + heta) = -\cos heta$ 이므로 ($heta=\\frac{\pi}{2}x$로 치환) $\sin(-\\frac{\pi}{2} + \\frac{\pi}{2}x) = -\cos(\\frac{\pi}{2}x)$ 입니다.

따라서 $f(x) = 2(-\cos(\\frac{\pi}{2}x)) + 3 = -2\cos(\\frac{\pi}{2}x) + 3$ 입니다.

이제 $y=2\cos(\\frac{\pi}{2}x)+3$와 비교해 보면 $a$의 부호가 다릅니다. 이는 $x$축 대칭 관계에 해당합니다.

다시 확인: $\sin(\ heta - \\frac{\pi}{2}) = -\cos heta$ 입니다. (각 변환) $\sin(\\frac{\pi}{2}x - \\frac{\pi}{2}) = -\cos(\\frac{\pi}{2}x)$ 이므로 $f(x) = 2(-\cos(\\frac{\pi}{2}x)) + 3 = -2\cos(\\frac{\pi}{2}x) + 3$

그러면 $y=2\cos(\\frac{\pi}{2}x)+3$ 와는 같지 않습니다.

하지만 문제에 오류가 있는 것 같습니다. 보통 이러한 유형의 문제는 두 식이 같게 나오는 경우가 많습니다. 만약 $\sin(A-\\frac{\pi}{2}) = -\cos A$ 임을 이용했다면 $f(x) = -2\cos(\\frac{\pi}{2}x) + 3$ 입니다.

다른 각 변환: $\cos(\\frac{\pi}{2}x) = \sin(\\frac{\pi}{2}x + \\frac{\pi}{2})$. 이 관계를 이용하면, $y=2\cos(\\frac{\pi}{2}x)+3 = 2\sin(\\frac{\pi}{2}x + \\frac{\pi}{2}) + 3$.

주어진 $f(x) = 2\sin(\\frac{\pi}{2}x - \\frac{\pi}{2}) + 3$. 두 함수가 같으려면 $\sin(\\frac{\pi}{2}x - \\frac{\pi}{2}) = \sin(\\frac{\pi}{2}x + \\frac{\pi}{2})$ 이어야 합니다.

$\sin(A - \\frac{\pi}{2}) = -\cos A$ $\sin(A + \\frac{\pi}{2}) = \cos A$

따라서 $\sin(\\frac{\pi}{2}x - \\frac{\pi}{2}) = -\cos(\\frac{\pi}{2}x)$ 이고, $\sin(\\frac{\pi}{2}x + \\frac{\pi}{2}) = \cos(\\frac{\pi}{2}x)$ 입니다.

그러므로 $f(x) = -2\cos(\\frac{\pi}{2}x)+3$ 이 되고, $y=2\cos(\\frac{\pi}{2}x)+3$과는 다릅니다.

문제 풀이 오류 정정 (정답이 5번으로 가정): 만약 ㄷ이 참이 되려면 $f(x) = 2\sin(\\frac{\pi}{2}x - \\frac{\pi}{2}) + 3$이 아니라 $f(x) = 2\sin(\\frac{\pi}{2}x + \\frac{\pi}{2}) + 3$ 이었거나, $y = -2\cos(\\frac{\pi}{2}x) + 3$ 이었어야 합니다.

원래 $y = 2\cos(\\frac{\pi}{2}x)+3$ 그래프는 $f(x) = 2\sin(\\frac{\pi}{2}x + \\frac{\pi}{2}) + 3$과 같습니다.

선택지 ㄷ이 참이 되려면 $\sin(X - \\frac{\pi}{2}) = \cos(X)$가 성립하는 경우가 있거나, 다른 형태로 문제가 주어져야 합니다.

하지만, '사인 함수를 코사인 함수로 바꾸는 과정'에서 오류가 있었습니다. $\sin(\\frac{\pi}{2}x - \\frac{\pi}{2}) = \sin(-( \\frac{\pi}{2} - \\frac{\pi}{2}x)) = -\sin(\\frac{\pi}{2} - \\frac{\pi}{2}x)$. 이때 $\sin(\\frac{\pi}{2} - heta) = \cos heta$ 이므로 $-\sin(\\frac{\pi}{2} - \\frac{\pi}{2}x) = -\cos(\\frac{\pi}{2}x)$.

따라서 $f(x) = -2\cos(\\frac{\pi}{2}x) + 3$ 이 되어, ㄷ은 거짓입니다.

만약 ㄷ을 참으로 만들어야 한다면 문제가 '그래프가 $y=2\cos(\\frac{\pi}{2}x)+3$와 평행이동에 의해 겹쳐진다'는 식의 표현이 필요하거나, $f(x)$가 다른 함수식이어야 합니다.

제공된 정답이 5번이라는 가정 하에, 아마도 $\sin(\ heta - \\frac{\pi}{2}) = \cos( heta)$로 착각하는 경우가 있을 수 있습니다. 하지만 이는 틀린 공식입니다. $\sin(\ heta - \\frac{\pi}{2}) = \sin[-(\\frac{\pi}{2} - heta)] = -\sin(\\frac{\pi}{2} - heta) = -\cos heta$.

따라서 ㄷ은 거짓이므로 정답은 (3)이 되어야 합니다.

다시 한번 확인하고, 만약 ㄷ이 참이 되려면: $\sin(\\frac{\pi}{2}x - \\frac{\pi}{2}) = \cos(\\frac{\pi}{2}x)$ 가 성립해야 합니다. 이는 $\sin A = \cos(A+\\frac{\pi}{2})$ 가 성립해야 하는 것과 같은데, $\cos(A+\\frac{\pi}{2}) = -\sin A$ 이므로, 결국 $\sin A = -\sin A$, 즉 $\sin A = 0$ 일 때만 성립합니다. 따라서 일반적인 관계가 아닙니다.

결론: 문제 또는 정답에 오류가 있을 가능성이 높습니다. ㄷ은 거짓입니다. 정답은 (3).

문제의 의도를 긍정적으로 해석하자면, $y=2\sin(\\frac{\pi}{2}x - \\frac{\pi}{2})+3$에서 $x$축으로 $-\\frac{c}{b} = -\\frac{-\pi/2}{\pi/2} = 1$만큼 평행이동하면 $y=2\sin(\\frac{\pi}{2}x)+3$의 그래프가 됩니다. $y=2\cos(\\frac{\pi}{2}x)+3$ 그래프는 $y=2\sin(\\frac{\pi}{2}x + \\frac{\pi}{2})+3$와 같습니다. 이 두 함수는 $x$축 평행이동 관계에 있습니다. $\sin x$와 $\cos x$는 $x$축 평행이동에 의해 겹쳐질 수 있으므로, '그래프가 같다'는 표현은 '겹쳐질 수 있다'는 의미로 해석될 수도 있으나, 엄밀히 '같다'는 것은 동일한 함수식을 의미합니다. 따라서 ㄷ은 거짓으로 보는 것이 맞습니다.

정답: (3)

정답: $2\pi$

풀이: 주어진 방정식은 $\sin x = |\\frac{1}{2}\cos x|$ 입니다. 이 방정식은 $\sin x \ge 0$인 범위에서만 해를 가질 수 있습니다. 즉, $x \in [0, \pi]$에서만 해를 찾습니다.

경우 1: $\cos x \ge 0$ 일 때 (즉, $x \in [0, \\frac{\pi}{2}]$ 또는 $x \in [\\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$) 이때 $|\\frac{1}{2}\cos x| = \\frac{1}{2}\cos x$이므로, $\sin x = \\frac{1}{2}\cos x$가 됩니다. 양변을 $\cos x$로 나누면 $an x = \\frac{1}{2}$가 됩니다 (단, $\cos x e 0$). $an x = \\frac{1}{2}$를 만족하는 $x$ 값을 $\alpha$라 하면, $\alpha = \\arctan(\\frac{1}{2})$입니다. 이때 $\alpha$는 제1사분면 각이므로 $0 < \alpha < \\frac{\pi}{2}$ 입니다.

경우 2: $\cos x < 0$ 일 때 (즉, $x \in (\\frac{\pi}{2}, \\frac{3\pi}{2})$) 이때 $|\\frac{1}{2}\cos x| = -\\frac{1}{2}\cos x$이므로, $\sin x = -\\frac{1}{2}\cos x$가 됩니다. 양변을 $\cos x$로 나누면 $an x = -\\frac{1}{2}$가 됩니다 (단, $\cos x e 0$). $an x = -\\frac{1}{2}$를 만족하는 $x$ 값을 $\beta$라 하면, $\beta$는 제2사분면 또는 제4사분면 각입니다. $\sin x \ge 0$ 조건을 고려하면, $\beta$는 제2사분면 각이어야 합니다. 즉, $\\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ 입니다. $an(\pi-\alpha) = - an\alpha = -\\frac{1}{2}$이므로, $\beta = \pi - \alpha$가 됩니다.

따라서 $0 \le x \le 2\pi$ 범위에서 $\sin x \ge 0$인 구간은 $[0, \pi]$ 입니다. 이 구간에서 찾은 해는 $\alpha$와 $\pi - \alpha$입니다.

모든 해의 합은 $\alpha + (\pi - \alpha) = \pi$ 입니다.

다시 확인: $0 \le x \le 2\pi$ 범위에서 $\sin x \ge 0$인 구간은 $[0, \pi]$ 입니다.

• $x \in [0, \\frac{\pi}{2}]$ 에서 $\cos x \ge 0$ 이므로 $\sin x = \\frac{1}{2}\cos x \implies an x = \\frac{1}{2}$. 이 해를 $\alpha$라고 하면 $0 < \alpha < \\frac{\pi}{2}$. (첫 번째 해)
• $x \in (\\frac{\pi}{2}, \pi]$ 에서 $\cos x < 0$ 이므로 $\sin x = -\\frac{1}{2}\cos x \implies an x = -\\frac{1}{2}$. 이 해를 $\beta$라고 하면 $\\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$. (두 번째 해)

우리는 $an\alpha = \\frac{1}{2}$ 인 $\alpha$를 알고 있습니다. $an(\pi - \alpha) = - an\alpha = -\\frac{1}{2}$ 이므로, $\beta = \pi - \alpha$ 입니다.

따라서 $0 \le x \le 2\pi$ 범위에서 방정식의 모든 해는 $\alpha$와 $\pi - \alpha$ 입니다. 이 해들의 합은 $\alpha + (\pi - \alpha) = \pi$.

잠깐, 문제의 '모든 해'에 대한 합을 다시 고려해 봐야 합니다. $\sin x = |\\frac{1}{2}\cos x|$ 는 $\sin x \ge 0$ 인 경우만 유효합니다. 즉, $x \in [0, \pi]$ 에서만 해가 존재합니다.

$y=\sin x$ 그래프를 그리고 $y=|\\frac{1}{2}\cos x|$ 그래프를 그립니다.

$|\\frac{1}{2}\cos x|$는 $y \ge 0$ 이므로, $y=\sin x$도 $y \ge 0$ 인 구간만 고려합니다. 즉 $x \in [0, \pi]$.

1. $x \in [0, \\frac{\pi}{2}]$ 일 때, $\cos x \ge 0$ 이므로 $|\\frac{1}{2}\cos x| = \\frac{1}{2}\cos x$. $\sin x = \\frac{1}{2}\cos x \implies an x = \\frac{1}{2}$. 해를 $x_1$ 이라 하면 $x_1 \in (0, \\frac{\pi}{2})$.

2. $x \in (\\frac{\pi}{2}, \pi]$ 일 때, $\cos x < 0$ 이므로 $|\\frac{1}{2}\cos x| = -\\frac{1}{2}\cos x$. $\sin x = -\\frac{1}{2}\cos x \implies an x = -\\frac{1}{2}$. 해를 $x_2$ 라 하면 $x_2 \in (\\frac{\pi}{2}, \pi)$.

$x_1$과 $x_2$는 $an x = k$의 해이므로, $an x$의 주기 $\pi$를 생각하면 $x_2 = \pi - x_1$이 됩니다. (정확히는 $an x_1 = \\frac{1}{2}$이고 $an x_2 = -\\frac{1}{2}$이므로 $x_2 = \pi - x_1$ 이 됩니다.)

따라서 $0 \le x \le 2\pi$ 범위에서 해는 $x_1$과 $\pi - x_1$입니다. 두 해의 합은 $x_1 + (\pi - x_1) = \pi$.

어라? 정답이 $2\pi$로 주어졌는데 제 풀이로는 $\pi$입니다. 다시 한번 살펴봅니다. 문제: $\sin x = |\\frac{1}{2}\cos x|$

그래프로 접근해봅시다. $y=\sin x$와 $y=|\\frac{1}{2}\cos x|$의 교점을 찾는 것입니다.

$y=\sin x$는 $x \in [0, \pi]$에서 양수이고, $x \in (\pi, 2\pi)$에서 음수입니다. $y=|\\frac{1}{2}\cos x|$는 항상 양수입니다. 따라서 교점은 $x \in [0, \pi]$에서만 생깁니다.

그러면 해는 $x_1$과 $x_2 = \pi - x_1$ 밖에 없어야 합니다. 그럼 해의 합은 $\pi$가 됩니다.

혹시 $\sin x = -|\\frac{1}{2}\cos x|$ 일 때 해가 있을까? $y=\sin x$가 음수이고 $y=-|\\frac{1}{2}\cos x|$도 음수이므로 $x \in (\pi, 2\pi)$에서 해가 생길 수 있습니다. 그러나 문제에서 주어진 식은 $\sin x = |\\frac{1}{2}\cos x|$ 이므로, $\sin x$가 양수인 구간에서만 해를 가집니다.

확실히 제 풀이로는 합이 $\pi$입니다. 정답 $2\pi$는 혹시 $an x = \\pm k$일 때의 해를 구하는 과정에서 $x_1, x_2, x_1+\pi, x_2+\pi$ 이런 식으로 4개가 나올 수 있다는 착각 때문일까요?

다시 한번, 핵심은 $\sin x = |\\frac{1}{2}\cos x|$ 이므로 $\sin x \ge 0$ 이어야 한다는 것입니다. 따라서 해는 $x \in [0, \pi]$에서만 존재합니다.

• $\sin x = \\frac{1}{2}\cos x \implies an x = \\frac{1}{2}$ ($x \in [0, \\frac{\pi}{2}]$) 해 $x_1 = \\arctan(\\frac{1}{2})$
• $\sin x = -\\frac{1}{2}\cos x \implies an x = -\\frac{1}{2}$ ($x \in (\\frac{\pi}{2}, \pi]$) 해 $x_2 = \pi - \\arctan(\\frac{1}{2})$

총 해의 개수는 2개이고, 그 합은 $x_1 + x_2 = \\arctan(\\frac{1}{2}) + (\pi - \\arctan(\\frac{1}{2})) = \pi$.

만약 정답이 $2\pi$라면, 문제는 $an x = \\pm \\frac{1}{2}$로 풀어야 할 텐데, 이는 식 변형 과정에서 오류가 있을 수 있다는 의미입니다.

재검토: $\sin x = |\\frac{1}{2}\cos x|$ 양변을 제곱하면 $\sin^2 x = \\frac{1}{4}\cos^2 x$ $4\sin^2 x = \cos^2 x$ $4\sin^2 x = 1-\sin^2 x$ $5\sin^2 x = 1 \implies \sin^2 x = \\frac{1}{5}$ $\sin x = \\pm \\frac{1}{\\sqrt{5}}$

하지만 원래 방정식은 $\sin x = |\\frac{1}{2}\cos x|$ 이므로, $\sin x$는 반드시 $0$ 또는 양수여야 합니다. 따라서 $\sin x = \\frac{1}{\\sqrt{5}}$ 만 고려합니다.

$\sin x = \\frac{1}{\\sqrt{5}}$ 인 $x$를 구하면 됩니다. $x \in [0, 2\pi]$ 범위에서 $\sin x = \\frac{1}{\\sqrt{5}}$ 인 해는 2개가 있습니다. 하나는 $0 < x_1 < \\frac{\pi}{2}$ 에 있고, 다른 하나는 $\\frac{\pi}{2} < x_2 < \pi$ 에 있습니다.

$\sin x_1 = \\frac{1}{\\sqrt{5}}$ 이면 $x_2 = \pi - x_1$ 입니다.

이 두 해는 $\sin x \ge 0$ 조건을 만족합니다. 그리고 이 두 해는 $|\\frac{1}{2}\cos x|$ 를 만족하는지 확인해야 합니다. $\sin^2 x = \\frac{1}{5}$ 이면 $\cos^2 x = 1 - \\frac{1}{5} = \\frac{4}{5}$. 따라서 $|\\cos x| = \\frac{2}{\\sqrt{5}}$. $|\\frac{1}{2}\cos x| = \\frac{1}{2} |\\cos x| = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2}{\\sqrt{5}} = \\frac{1}{\\sqrt{5}}$. 즉, $\sin x = \\frac{1}{\\sqrt{5}}$인 모든 해는 주어진 방정식을 만족합니다.

따라서 $x_1$과 $x_2 = \pi - x_1$ 이 해가 됩니다. 이 해들의 합은 $x_1 + (\pi - x_1) = \pi$ 입니다.

정답이 $2\pi$로 주어진 것이 잘못된 정보이거나, 제가 문제를 잘못 해석하고 있을 수 있습니다. 그러나 수학적 논리에 따르면 해의 합은 $\pi$입니다.

최종적으로 제 풀이의 결과인 $\pi$를 정답으로 합니다. 혹시 정답이 $2\pi$였다면 문제 출처를 확인해 봐야 합니다.

(본 풀이는 문제의 조건에 충실하여 $\sin x \ge 0$ 인 구간에서만 해를 찾았습니다. 만약 문제의 조건이 $| \sin x | = |\\frac{1}{2}\cos x|$ 였다면, $\sin x = \\pm \\frac{1}{\\sqrt{5}}$이므로 $x \in [0, 2\pi]$ 범위에서 4개의 해가 나오고, 그 합이 $2\pi$가 됩니다.)

문제에 충실한 풀이로 최종 정답을 $\pi$로 간주합니다.

(단, 혹시 주관식 문제였다면 오류로 인한 $2\pi$가 답이 될 가능성도 배제할 수 없습니다. 연습문제이므로, 논리적인 흐름에 따라 $\pi$로 결론 내립니다.)