수학II 미분 완전 정복: 미분계수부터 도함수 활용까지

개요

수능 수학을 준비하는 고2 학생 여러분, 안녕하세요! 오늘은 수학II의 핵심 중의 핵심, 바로 '미분' 단원을 함께 파헤쳐 볼 시간입니다. 미분은 단순히 계산하는 방법을 넘어, 함수의 변화를 이해하고 분석하는 강력한 도구이며, 뒤이어 배우게 될 '적분'의 기초가 되는 매우 중요한 개념입니다.

이 단원을 배우는 주된 이유는 함수의 순간적인 변화율을 구하고, 이를 통해 함수의 그래프 개형을 파론하며, 나아가 방정식의 실근 개수, 부등식의 성립, 물체의 속도와 가속도 등 다양한 실생활 문제와 수학적 문제를 해결하는 데 활용하기 위함입니다. 수능에서는 매년 4~5문제 정도 출제될 정도로 출제 빈도가 높으며, 특히 그래프 개형 추론, 미분계수의 정의 활용, 접선의 방정식 관련 문제는 준킬러~킬러 문항으로 출제될 수도 있어 매우 중요합니다. 미분 단원을 완벽하게 마스터하는 것이 수능 고득점의 필수 조건이니, 오늘 저와 함께 꼼꼼히 학습해 봅시다!

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핵심 개념

1. 미분계수와 도함수

함수의 변화를 이해하는 첫걸음은 '미분계수'와 '도함수'입니다. 이 개념들은 함수의 특정 지점에서의 순간적인 변화율을 나타내며, 이는 곧 그 지점에서의 '접선의 기울기'를 의미합니다.

1.1 평균변화율

함수 $y=f(x)$에서 $x$의 값이 $a$에서 $b$까지 변할 때의 평균변화율은 $x$값의 변화량($\Delta x$)에 대한 $y$값의 변화량($\Delta y$)의 비율을 말합니다.

$\text{평균변화율} = \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \\frac{f(a+\\Delta x)-f(a)}{\\Delta x}$

이는 두 점 $(a, f(a))$와 $(b, f(b))$를 잇는 직선의 기울기를 의미합니다.

1.2 미분계수 (순간변화율)

$x$의 값이 $a$에서 $a+\Delta x$까지 변할 때의 평균변화율에서 $\Delta x \ o 0$일 때의 극한값을 미분계수라고 합니다. 이는 $x=a$에서의 순간변화율이며, $x=a$에서의 접선의 기울기를 나타냅니다.

미분계수의 정의 함수 $f(x)$의 $x=a$에서의 미분계수는 $f'(a)$로 나타내며 다음과 같이 정의합니다. $f'(a) = \\lim_{\\Delta x \ o 0} \\frac{f(a+\\Delta x)-f(a)}{\\Delta x}$ $\\Delta x = h$로 치환하거나 $x-a=h$로 치환하면 다음과 같은 형태로도 표현됩니다. $f'(a) = \\lim_{h \ o 0} \\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 또는 $x \ o a$로 극한을 취하면 $x-a = \\Delta x$가 되므로 다음과 같이 표현할 수도 있습니다. $f'(a) = \\lim_{x \ o a} \\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

1.3 미분가능성과 연속성

함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능하다는 것은 $f'(a)$가 존재한다는 의미입니다. 함수가 $x=a$에서 미분가능하려면 다음 두 조건을 만족해야 합니다.

1. 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 연속이다.
2. $x=a$에서의 미분계수(좌미분계수와 우미분계수)가 존재하고 서로 같다.

미분가능성과 연속성의 관계 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능하면 $f(x)$는 $x=a$에서 연속입니다. 하지만 그 역은 성립하지 않습니다. 즉, 연속인 함수가 항상 미분가능한 것은 아닙니다. (예: $y=|x|$는 $x=0$에서 연속이지만 미분가능하지 않습니다. 뾰족점)

1.4 도함수

함수 $y=f(x)$가 정의역의 각 원소 $x$에 미분계수 $f'(x)$를 대응시키면 새로운 함수를 얻게 되는데, 이 함수를 $f(x)$의 도함수라고 합니다. 도함수는 $f'(x)$, $\\frac{dy}{dx}$, $\\frac{d}{dx}f(x)$ 등으로 표기합니다.

도함수의 정의 함수 $y=f(x)$의 도함수는 다음과 같이 정의합니다. $f'(x) = \\lim_{h \ o 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

1.5 미분법 공식

도함수의 정의를 이용하여 모든 함수를 미분하는 것은 복잡하므로, 미분법 공식을 이용합니다.

1. 상수 함수의 미분: $(c)' = 0$ (단, $c$는 상수)
2. 거듭제곱 함수의 미분: $(x^n)' = nx^{n-1}$ (단, $n$은 양의 정수)
3. 상수배의 미분: $(cf(x))' = c f'(x)$
4. 합, 차의 미분: $(f(x) \\pm g(x))' = f'(x) \\pm g'(x)$
5. 곱의 미분: $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

예제: 함수 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1$의 도함수 $f'(x)$를 구하시오.

풀이: 각 항을 미분법 공식에 따라 미분하면 됩니다. $(x^3)' = 3x^2$ $(-2x^2)' = -2(x^2)' = -2(2x) = -4x$ $(5x)' = 5(x^1)' = 5(1x^0) = 5$ $(-1)' = 0$ 따라서, $f'(x) = (x^3 - 2x^2 + 5x - 1)' = 3x^2 - 4x + 5$

2. 도함수의 활용

도함수를 구하는 방법을 알았다면, 이제 이 도함수를 이용하여 함수의 다양한 성질을 분석하고 문제를 해결하는 '도함수의 활용' 단원을 공부할 차례입니다. 이는 수능에서 가장 중요한 부분 중 하나입니다.

2.1 접선의 방정식

도함수는 곡선 위의 한 점에서의 접선의 기울기를 의미하므로, 이를 이용하여 접선의 방정식을 구할 수 있습니다.

접선의 방정식 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은 다음과 같습니다. $y - f(a) = f'(a)(x-a)$

접선의 방정식 문제는 보통 세 가지 유형으로 출제됩니다.

1. 접점의 좌표가 주어질 때: $(a, f(a))$가 주어졌으므로 $f'(a)$만 구하여 공식에 대입합니다.
2. 기울기가 주어질 때: 접선의 기울기 $m$이 $f'(a)=m$을 만족하는 $a$를 찾아 접점을 구한 후, 1번 유형처럼 해결합니다.
3. 곡선 밖의 한 점이 주어질 때: 곡선 밖의 한 점 $(x_1, y_1)$이 주어지면, 접점을 $(a, f(a))$로 가정하고 접선의 방정식을 세운 후, 이 직선이 $(x_1, y_1)$을 지난다는 조건을 이용하여 $a$ 값을 찾습니다.

2.2 롤의 정리와 평균값 정리

두 정리는 함수의 변화율에 대한 중요한 이론적인 내용입니다. 수능에서 직접적인 증명이나 계산 문제로 출제되는 경우는 드물지만, 개념 자체는 알아두어야 합니다.

롤의 정리 함수 $f(x)$가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린 구간 $(a, b)$에서 미분가능하며 $f(a)=f(b)$이면, $f'(c)=0$인 $c$가 열린 구간 $(a, b)$에 적어도 하나 존재한다.

평균값 정리 함수 $f(x)$가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린 구간 $(a, b)$에서 미분가능하면, $\\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$인 $c$가 열린 구간 $(a, b)$에 적어도 하나 존재한다.

2.3 함수의 증가와 감소

도함수의 부호를 이용하여 함수가 증가하는지 감소하는지 판정할 수 있습니다.

함수의 증가와 감소 판정 어떤 열린 구간에서 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여

1. 모든 $x$에 대해 $f'(x)>0$이면 $f(x)$는 이 구간에서 증가한다.
2. 모든 $x$에 대해 $f'(x)<0$이면 $f(x)$는 이 구간에서 감소한다.

2.4 함수의 극대와 극소

함수의 증가 상태가 감소 상태로 바뀌거나, 감소 상태가 증가 상태로 바뀌는 지점을 각각 극대점, 극소점이라고 합니다. 이들을 통틀어 극점이라고 합니다.

극대와 극소의 판정 함수 $f(x)$가 미분가능할 때, $f'(c)=0$인 점 $x=c$를 기준으로

1. $x=c$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=c$에서 극대이다.
2. $x=c$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=c$에서 극소이다.

주의: $f'(c)=0$이라고 해서 항상 극값을 갖는 것은 아닙니다. (예: $f(x)=x^3$은 $f'(0)=0$이지만 $x=0$에서 극값을 갖지 않습니다.) 중요한 것은 $f'(x)$의 부호 변화입니다.

2.5 함수의 그래프 개형

도함수를 이용하여 함수의 증가/감소, 극대/극소를 파악하면 함수의 그래프 개형을 그릴 수 있습니다. 특히 삼차함수와 사차함수의 그래프 개형은 수능에 자주 출제되므로 반드시 숙지해야 합니다.

• 삼차함수 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ($a \ eq 0$)의 개형:

  • $f'(x)=0$이 서로 다른 두 실근을 가질 때: 극대, 극소를 모두 가지는 형태.
  • $f'(x)=0$이 중근을 가질 때: 극값을 갖지 않고 계속 증가하거나 계속 감소하는 형태 (변곡점에서 접선의 기울기가 0).
  • $f'(x)=0$이 허근을 가질 때: 극값을 갖지 않고 계속 증가하거나 계속 감소하는 형태.

• 사차함수 $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ ($a \ eq 0$)의 개형:

  • $f'(x)=0$이 서로 다른 세 실근을 가질 때: 두 개의 극소값과 한 개의 극대값을 가지는 형태 (W자 또는 M자).
  • $f'(x)=0$이 중근을 포함하는 세 실근 또는 한 실근과 두 허근을 가질 때: 한 개의 극소값 또는 한 개의 극대값을 가지는 형태.

2.6 최대값과 최소값

닫힌 구간 $[a,b]$에서 연속인 함수 $f(x)$의 최대값과 최소값은 극값과 양 끝점에서의 함수값 중 가장 큰 값과 가장 작은 값입니다.

닫힌 구간에서의 최대/최소값 찾기

1. 구간 $[a,b]$에서 $f'(x)=0$이 되는 모든 $x$값(극점 후보)을 찾는다.
2. 이 극점에서의 함숫값 $f(c)$와 양 끝점에서의 함숫값 $f(a), f(b)$를 구한다.
3. 이 중 가장 큰 값이 최대값, 가장 작은 값이 최소값이다.

2.7 방정식과 부등식에의 활용

함수의 그래프 개형을 이용하여 방정식의 실근의 개수를 파악하거나, 부등식이 항상 성립함을 증명할 수 있습니다.

• 방정식 $f(x)=0$의 실근 개수: $y=f(x)$의 그래프와 $x$축의 교점의 개수
• 방정식 $f(x)=k$의 실근 개수: $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=k$의 교점의 개수
• 부등식 $f(x) \\ge 0$의 증명: 특정 구간에서 $f(x)$의 최소값이 0보다 크거나 같음을 보이면 됩니다.

2.8 속도와 가속도

수직선 위를 움직이는 점의 위치 변화를 미분으로 분석할 수 있습니다.

수직선 운동의 속도와 가속도 시각 $t$에서의 위치를 나타내는 함수를 $x(t)$라고 할 때,

1. 속도 $v(t)$: $v(t) = x'(t) = \\frac{dx}{dt}$ (위치를 시각에 대해 미분한 값)
2. 가속도 $a(t)$: $a(t) = v'(t) = x''(t) = \\frac{d^2x}{dt^2}$ (속도를 시각에 대해 미분한 값)

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주요 공식 정리

| 공식 | 설명 | |------|------| | $f'(a) = \\lim_{h \ o 0} \\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ | 미분계수의 정의 (순간변화율) | | $f'(a) = \\lim_{x \ o a} \\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ | 미분계수의 또 다른 정의 | | $(x^n)' = nx^{n-1}$ | 거듭제곱 함수의 미분법 | | $(cf(x))' = c f'(x)$ | 상수배 함수의 미분법 | | $(f(x) \\pm g(x))' = f'(x) \\pm g'(x)$ | 합, 차 함수의 미분법 | | $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ | 곱 함수의 미분법 | | $y - f(a) = f'(a)(x-a)$ | 곡선 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식 | | $f'(x) > 0 \\implies f(x)$ 증가 | 도함수 부호와 함수의 증감 | | $f'(x) < 0 \\implies f(x)$ 감소 | | | $x(t)$ (위치) $\\xrightarrow{\text{미분}} v(t)$ (속도) $\\xrightarrow{\text{미분}} a(t)$ (가속도) | 수직선 운동에서의 미분 활용 |

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자주 나오는 유형

유형 1: 미분계수의 정의를 이용한 극한값 계산

미분계수의 정의 형태를 변형하여 극한값을 계산하는 문제입니다. $\\lim_{h \ o 0} \\frac{f(a+ph)-f(a+qh)}{rh}$ 또는 $\\lim_{x \ o a} \\frac{f(x^n)-f(a^n)}{x-a}$와 같은 꼴이 자주 출제됩니다. 핵심은 주어진 식을 $f'(a)$의 정의와 일치하는 형태로 변형하는 것입니다.

접근 방법:

1. 분모 또는 분자에 필요한 항을 더하고 빼서 미분계수의 정의 형태를 만든다.
2. $f'(a)$ 앞에 계수를 맞춰준다.
3. (팁) 로피탈의 정리($\\frac{0}{0}$ 꼴에서 분자, 분모를 각각 미분하여 극한값을 계산)를 활용하면 빠르게 풀 수 있지만, 서술형에서는 사용하지 못하므로 정의를 이용한 풀이도 반드시 익혀야 합니다.

유형 2: 삼차함수, 사차함수의 그래프 개형 추론 및 미정계수 결정

도함수의 부호 변화, 극대/극소, 대칭성 등을 이용하여 함수 $f(x)$의 그래프 개형을 추론하고, 주어진 조건을 만족하는 미정계수를 결정하는 문제입니다. 수능에서 가장 중요하고 난이도 높게 출제될 수 있는 유형입니다.

접근 방법:

1. 주어진 조건(극값, 접선, 증가/감소 구간, 방정식 실근 개수 등)을 도함수 $f'(x)$의 특징으로 해석한다.
2. $f'(x)$의 그래프를 먼저 그려보고, 이를 통해 $f(x)$의 그래프 개형을 추론한다.
3. 삼차함수, 사차함수의 특징적인 개형들을 미리 숙지하고 활용하면 시간을 절약할 수 있다.
4. 미정계수 결정 시, 식을 세우고 연립하여 푸는 것보다 그래프의 대칭성이나 특수한 점(변곡점 등)을 활용하면 계산이 간편해진다.

유형 3: 접선의 방정식 관련 문제 (곡선 밖의 점)

곡선 $y=f(x)$ 밖의 한 점 $(x_1, y_1)$에서 곡선에 그은 접선의 방정식을 구하는 문제입니다. 이 유형은 접선의 개수 문제로 확장될 수 있습니다.

접근 방법:

1. 접점의 좌표를 $(t, f(t))$로 설정한다.
2. 접선의 기울기를 $f'(t)$로 표현한다.
3. 접선의 방정식을 $y - f(t) = f'(t)(x-t)$로 세운다.
4. 이 접선이 곡선 밖의 점 $(x_1, y_1)$을 지난다는 조건을 이용하여 $y_1 - f(t) = f'(t)(x_1-t)$ 식을 $t$에 대한 방정식으로 풀고, $t$값을 찾는다.
5. 찾은 $t$값을 이용하여 접선의 방정식을 완성한다. ($t$의 개수가 접선의 개수가 됨)

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연습문제

연습 1 (기본)

함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$에 대하여 $\\lim_{h \ o 0} \\frac{f(1+2h)-f(1)}{h}$의 값은?

(1) $-6$ (2) $-3$ (3) $0$ (4) $3$ (5) $6$

정답 및 풀이 보기

정답: (1)

풀이: 주어진 극한은 미분계수의 정의를 이용하는 문제입니다. $\\lim_{h \ o 0} \\frac{f(1+2h)-f(1)}{h}$ 형태를 $f'(1) = \\lim_{h \ o 0} \\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ 형태로 변형해야 합니다.

$\\lim_{h \ o 0} \\frac{f(1+2h)-f(1)}{h} = \\lim_{h \ o 0} \\frac{f(1+2h)-f(1)}{2h} \times 2$

이때, $\\lim_{h \ o 0} \\frac{f(1+2h)-f(1)}{2h}$는 $2h \ o 0$일 때 $f'(1)$과 같습니다. 따라서, 주어진 식은 $2f'(1)$과 같습니다.

먼저 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$의 도함수 $f'(x)$를 구합니다. $f'(x) = (x^3 - 3x^2 + 2)' = 3x^2 - 6x$

이제 $x=1$에서의 미분계수 $f'(1)$을 구합니다. $f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3$

그러므로 구하는 극한값은 $2f'(1) = 2 \times (-3) = -6$입니다.

연습 2 (심화)

함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + a$의 극소값이 $-1$일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

정답 및 풀이 보기

정답: $3$

풀이: 함수의 극소값을 구하기 위해 먼저 도함수 $f'(x)$를 구합니다. $f'(x) = (x^3 - 3x^2 + a)' = 3x^2 - 6x$

$f'(x)=0$이 되는 $x$값을 찾습니다. $3x^2 - 6x = 0$ $3x(x-2) = 0$ $x=0$ 또는 $x=2$

이제 $x=0$과 $x=2$를 기준으로 $f'(x)$의 부호 변화를 살펴봅니다.

• $x < 0$일 때, $f'(x) = 3x(x-2) > 0$ (증가)
• $0 < x < 2$일 때, $f'(x) = 3x(x-2) < 0$ (감소)
• $x > 2$일 때, $f'(x) = 3x(x-2) > 0$ (증가)

$x=0$에서 $f'(x)$의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌므로 $f(x)$는 $x=0$에서 극대값을 갖습니다. $x=2$에서 $f'(x)$의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 바뀌므로 $f(x)$는 $x=2$에서 극소값을 갖습니다.

주어진 조건에서 극소값이 $-1$이라고 했으므로 $f(2)=-1$입니다. $f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + a = 8 - 12 + a = -4 + a$

$-4 + a = -1$ $a = 3$

연습 3 (도전)

원점에서 곡선 $y=x^3-x$에 그은 접선 중, 곡선과 접하지 않는 접선의 방정식을 구하시오.

정답 및 풀이 보기

정답: $y=-x$

풀이: 곡선 밖의 점 $(0,0)$에서 곡선 $y=x^3-x$에 그은 접선의 문제입니다.

1. 접점을 $(t, t^3-t)$로 설정합니다.

2. 도함수 $f'(x)$를 구합니다. $f(x) = x^3-x$이므로 $f'(x) = 3x^2-1$

3. 접점에서의 접선의 기울기를 구합니다. $f'(t) = 3t^2-1$

4. 접선의 방정식을 세웁니다. $y - (t^3-t) = (3t^2-1)(x-t)$

5. 이 접선이 원점 $(0,0)$을 지난다는 조건을 이용합니다. $0 - (t^3-t) = (3t^2-1)(0-t)$ $-t^3+t = -t(3t^2-1)$ $-t^3+t = -3t^3+t$ $2t^3 = 0$ $t^3 = 0$ $t = 0$

이 결과는 $t=0$일 때 접선이 원점을 지난다는 것을 의미합니다. $t=0$을 접점의 좌표 $(t, t^3-t)$에 대입하면 $(0,0)$이 나옵니다. 즉, 원점 자체가 곡선 $y=x^3-x$ 위의 점이며, 이 점에서의 접선이 $y=x^3-x$와 원점에서 접한다는 의미입니다.

그러나 문제에서는