원과 접선을 활용한 고난도 삼각비 문제

문제

그림과 같이 선분 $\overline{AB}$를 지름으로 하는 반원의 중심을 $O$라고 하자. 반원 위의 점 $C$에서의 접선이 직선 $AB$와 점 $D$에서 만난다. 이때, 점 $D$는 선분 $AB$의 $B$쪽 연장선 위에 있으며, $\sin(\angle CAB) = \frac{3}{5}$이다. $\tan(\angle CDB)$의 값을 구하시오.