삼각비를 이용한 삼각형의 높이 구하기

문제

$\triangle ABC$에서 $\angle B = 45^\circ$, $\angle C = 60^\circ$이고, 변 $BC$의 길이가 $6$이다. 꼭짓점 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 $H$라고 할 때, 선분 $AH$의 길이는?

(참고: 그림은 $\triangle ABC$에서 꼭짓점 $A$가 위쪽에 있고, $\angle B$는 왼쪽 아래, $\angle C$는 오른쪽 아래에 있다. $A$에서 $BC$에 수선 $AH$를 내렸을 때, $H$는 $B$와 $C$ 사이에 위치한다.)