이차함수의 성질을 이용한 미정계수 찾기

문제

이차함수 $y=f(x)$에 대해 다음 조건을 모두 만족시킬 때, $f(0)$의 값은?

(가) 이차함수 $y=f(x)$의 그래프는 점 $(3, 1)$을 지난다. (나) 이차함수의 꼭짓점의 $x$좌표 $p$는 정수이다. (다) 이차함수의 그래프는 $x$축과 두 점 $(x_1, 0)$, $(x_2, 0)$에서 만나며, $x_1, x_2$는 모두 $0$보다 크다. 또한 $x_2 - x_1 = 4$이다. (라) 꼭짓점의 $x$좌표 $p$는 $1 < p < 5$를 만족한다. (마) 이차함수의 그래프와 $y$축이 만나는 점의 $y$좌표는 정수이다.