이차함수 그래프의 성질 활용 문제

문제

이차함수 $y = ax^2 + bx + c$의 그래프가 점 $(1, -3)$을 지난다. 이 이차함수의 최댓값은 $1$이고, 그래프가 $x$축과 만나는 두 점 사이의 거리는 $4$일 때, 상수 $a$의 값은? (단, $a, b, c$는 상수이다.)