이차함수 미정계수 및 성질 종합 문제

문제

이차함수 $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$)의 그래프가 다음 세 가지 조건을 만족합니다.

1. 그래프는 두 점 $(1, 3)$과 $(p, 3)$을 지납니다. (단, $p$는 $1$보다 큰 양수입니다.)
2. 함수의 최댓값은 $15$입니다.
3. 그래프의 $y$절편은 $-12$입니다.

이때, 상수 $p$의 값은 얼마입니까?