피타고라스 정리와 닮음을 활용한 길이 추론 문제

문제

\angle C = 90^\\circ인 직각삼각형 $\triangle ABC$가 있다. 두 변의 길이 $AC=6$, $BC=8$이다. 점 $D$는 빗변 $AB$ 위의 한 점이며, 점 $D$에서 변 $AC$에 내린 수선의 발을 $E$, 변 $BC$에 내린 수선의 발을 $F$라 하자. 이로 인해 사각형 $CFDE$는 직사각형이 된다. 이때, $\triangle ADE$의 넓이와 $\triangle BDF$의 넓이가 같다고 한다. 또한, 점 $C$에서 빗변 $AB$에 내린 수선의 발을 $G$라 할 때, 선분 $DG$의 길이를 구하시오.