정사각형을 품은 직각삼각형

문제

그림과 같이 $\angle B = 90^\circ$인 직각삼각형 $ABC$가 있습니다. 변 $BC$ 위에 점 $D$가 있고, 점 $D$에서 변 $AB$에 내린 수선의 발을 $E$, 변 $BC$에 내린 수선의 발을 $F$라고 합시다. 이때, 사각형 $EBDF$는 직사각형을 이룹니다. 만약 $\overline{AE} = 3$, $\overline{FC} = 4$ 이고, 삼각형 $ABC$의 넓이가 $24$일 때, 선분 $AC$의 길이는 얼마입니까?

(단, 그림은 이해를 돕기 위한 것이며, 실제 비율과 일치하지 않을 수 있습니다.)

graph TD
    A[A] -- y+3 --> B[B]
    B -- x+4 --> C[C]
    A --- C
    E[E] -- 3 --> A
    F[F] -- 4 --> C
    E -- x --> D[D]
    D -- y --> F
    style B fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px
    style D fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px
    style E fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px
    style F fill:#fff,stroke:#fff,stroke-width:0px
    linkStyle 0 stroke-width:0px
    linkStyle 1 stroke-width:0px
    linkStyle 2 stroke-width:0px
    linkStyle 3 stroke-width:0px
    linkStyle 4 stroke-width:0px
    linkStyle 5 stroke-width:0px
    linkStyle 6 stroke-width:0px
    linkStyle 7 stroke-width:0px
    linkStyle 8 stroke-width:0px

    subgraph 직각삼각형 ABC
        A -- AB --> B
        B -- BC --> C
        C -- AC --> A
    end
    subgraph <svg viewBox="0 0 40 40" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="display:inline-block;vertical-align:middle;width:1.4em;height:1.4em;margin:0 0.2em"><rect x="2" y="10" width="36" height="20" rx="4" fill="#6C63FF" opacity="0.7"/></svg>직사각형 EBDF
        E -- EB --> B
        B -- BF --> F
        F -- FD --> D
        D -- DE --> E
    end
    
    AB -.- BC
    AE -.- EB
    BF -.- FC
    ED -.- DF

    classDef black stroke:#333,fill:#fff
    classDef hidden fill:#fff,stroke:#fff
    class A,B,C,D,E,F black

    A --- E
    E --- B
    B --- F
    F --- C
    E --- D
    D --- F