숨겨진 순환소수와 미지수 다항식의 비밀

문제

$a, b, c, d$는 서로 다른 0이 아닌 한 자리 자연수입니다. 다음 세 가지 조건을 모두 만족할 때, $a \times b + c \times d$의 값은 얼마입니까?

조건 1: 순환소수 $0.\\dot{a}\\dot{b}$를 기약분수로 나타내면 그 분모가 $11$이 됩니다. 이 순환소수의 소수점 아래 첫째 자리 숫자와 둘째 자리 숫자를 각각 $X, Y$라고 할 때, $X$와 $Y$는 $0$이 아닌 서로 다른 한 자리 자연수입니다.

조건 2: 순환소수 $0.\\dot{c}\\dot{d}$를 기약분수로 나타내면 그 분모는 $99$가 됩니다. 이 순환소수의 소수점 아래 첫째 자리 숫자와 둘째 자리 숫자를 각각 $P, Q$라고 할 때, $P$와 $Q$는 $0$이 아닌 서로 다른 한 자리 자연수이며 $P+Q=9$를 만족합니다.

조건 3: 다항식 $P(x) = (a+1)x^2 + (b-1)x + (c+d)$가 주어져 있습니다. $P(x)$에 $x=1$을 대입한 값은 $15$입니다. 또한, $c+d$의 값은 $P(x)$의 상수항과 같으며, $c+d$를 소수로 나타내면 소수점 아래 첫째 자리가 $K$인 유한소수 $0.K$가 됩니다.