순환소수와 다항식의 복합 추론

문제

다음에 주어진 조건을 만족하는 $N_1, N_2, N_3, N_4$의 값을 구하고, 이를 이용하여 다항식 $Q(x, y)$의 $x^3y^2$ 항의 계수를 구하시오.

조건 1: 자연수 $A$에 대하여 분수 $\frac{A}{36}$를 소수로 나타내면 $0.x\dot{y}$ 형태의 순환소수이다. (단, $x, y$는 서로 다른 한 자리 자연수이고, $0.x\dot{y}$는 혼합 순환소수이다.) 이때, $N_1 = x+y$의 최댓값이다.

조건 2: 다항식 $R(x,y) = (m-2)x^2 + (n+3)xy + (m+n-5)y^2 + 7$이 $x, y$에 대한 이차식이고 $x^2$항과 $y^2$항의 계수가 모두 0일 때, 자연수 $m, n$의 합 $m+n$은 $N_2$이다.

조건 3: 분수 $\frac{13}{40}$을 소수로 나타냈을 때, 소수점 아래 셋째 자리 숫자와 넷째 자리 숫자의 합은 $N_3$이다.

조건 4: 두 다항식 $P = N_1 x^2 - N_2 xy + N_3 y^2$와 $S = x^2 + 2N_2 xy - N_1 y^2$에 대해 $P - 2S$를 계산했을 때, $y^2$ 항의 계수는 $N_4$이다.

$N_1, N_2, N_3, N_4$를 이용하여 다음 다항식 $Q(x, y)$를 정의한다. $Q(x, y) = (N_1 - N_2)x^3y^2 + N_3 x^2y^3 + (N_4-10)x^k y + 5xy^2 + (N_1+N_3)x^3y^2 + (k-4)xy$

다항식 $Q(x, y)$에 대하여 다음 조건이 모두 성립한다. (가) 다항식 $Q(x, y)$의 차수가 5이다. (나) $xy$ 항이 존재하지 않는다.

이때, 다항식 $Q(x,y)$를 간단히 했을 때, $x^3y^2$ 항의 계수를 구하시오.