소인수분해와 정수 연산의 심화 문제

문제

다음 조건을 모두 만족하는 자연수 $A, B, C$에 대하여, 정수 $x, y, z$의 값을 구하고 $x+y-z$의 값을 선택하시오.

조건 1: 자연수 $A$는 양의 약수의 개수가 $12$개이고, $A = 2^a \times 3^b \times 5^c$ (단, $a, b, c$는 0이 아닌 정수) 형태로 소인수분해되는 가장 작은 자연수이다. 조건 2: 자연수 $B$는 $A \times B$가 어떤 자연수의 제곱이 되도록 하는 가장 작은 자연수이다. 조건 3: 자연수 $C$는 $A \times C$가 어떤 자연수의 세제곱이 되도록 하는 가장 작은 자연수이다.

조건 4:

• 정수 $x$는 $|x| = C$ 이고 $x > 0$ 이다.
• 정수 $y$는 $|y| = B$ 이고 $y < 0$ 이다.
• 정수 $z$는 $|z| = \frac{A}{B}$ 이고 $z < 0$ 이다.

$x+y-z$의 값은?