성냥개비 도형 규칙과 미지수 찾기

문제

아래 그림과 같이 성냥개비를 이용하여 정삼각형 모양을 만들고 있습니다.

1단계에서는 1개의 정삼각형을 만드는 데 3개의 성냥개비가 사용됩니다. 2단계에서는 2개의 정삼각형을 만드는 데 5개의 성냥개비가 사용됩니다. 3단계에서는 3개의 정삼각형을 만드는 데 7개의 성냥개비가 사용됩니다.

이와 같은 규칙으로 $n$단계의 도형을 만드는 데 사용되는 성냥개비의 개수를 $n$에 대한 식으로 나타내면 $an+b$라고 합니다. 이때, 상수 $a$와 $b$의 합 $a+b$의 값을 구하시오.

그리고 $k$단계의 도형을 만드는 데 51개의 성냥개비가 사용되었다면, $k$의 값을 구하시오.

최종적으로 $a+b+k$의 값은 얼마입니까?