좌표평면 위 정비례, 반비례 그래프와 넓이 문제

문제

좌표평면 위에 다음과 같은 조건들이 주어져 있습니다.

1. 점 A는 제1사분면에 있는 정비례 관계 $y=ax$의 그래프 위의 점입니다.
2. 점 B는 제2사분면에 있는 반비례 관계 $y=\frac{k}{x}$의 그래프 위의 점입니다.
3. 점 A의 x좌표는 점 B의 y좌표와 같고, 점 A의 y좌표는 점 B의 x좌표의 절댓값과 같습니다.
4. 점 A와 x축, y축으로 둘러싸인 직사각형의 넓이가 20입니다.
5. 점 B의 x좌표는 $-4$입니다.

이때, 상수 $a$와 $k$에 대하여 $a+k$의 값을 구하시오. (단, $a, k$는 0이 아닌 상수입니다.)