함수 극한과 급수

문제

함수 $f(x) = e^x$ 에 대하여, 양의 정수 $n$에 대해 수열 $a_n$을 다음과 같이 정의한다. $a_n = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{x^k}{k!}}{x^n}$ 단, $a_n$은 항상 유한하고 $0$이 아닌 값을 갖는다고 가정한다. (여기서 $0! = 1$이다.) 이때, 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n+1}$의 값을 구하시오.