세 이차곡선의 이심률 곱

문제

좌표평면 위에 두 점 $F_1(0,0)$과 $F_2(2c,0)$ (단, $c>0$)이 주어져 있다.

1. 점 $F_1$을 초점으로 하고 준선이 $x=-2p$ (단, $p>0$)인 포물선 $P_L$이 있다.
2. 두 점 $F_1, F_2$를 초점으로 하는 타원 $E$가 있다.
3. 두 점 $F_1, F_2$를 초점으로 하는 쌍곡선 $H$가 있다.

포물선 $P_L$의 통경(latus rectum)의 양 끝점을 각각 $A, B$라 하자. ($A$는 $y$좌표가 양수, $B$는 $y$좌표가 음수이다.) 점 $A$는 타원 $E$ 위에 있고, 점 $B$는 쌍곡선 $H$ 위에 있다. 타원 $E$의 이심률을 $e_E$, 쌍곡선 $H$의 이심률을 $e_H$라 할 때, $e_E e_H$의 값은? (단, 포물선 $P_L$의 통경은 $x$축에 수직이다.)