삼각함수 방정식의 실근 개수와 합

문제

양수 $a$에 대하여 함수 $f(x) = \\left| \\sin\\left(\\frac{\\pi}{a}x\\right) - \\frac{1}{2} \\right|$ 가 있다. $x$에 대한 방정식 $f(x) = m$ 이 닫힌구간 $[0, 4a]$ 에서 서로 다른 실근의 개수가 10개이고, 이 10개 실근의 합은 36이다. 함수 $f(x)$는 $x=p$ 에서 극대값을 갖고 $f(p) = \\frac{3}{2}$ 를 만족하는 상수 $p$가 존재한다. 이때, 상수 $a$의 값은?