삼각함수 미정계수 및 실근의 개수

문제

함수 $f(x) = a \sin\left(\frac{\pi}{b}x\right) + c$ (단, $a, b, c$는 상수이고 $a>0, b>0$)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$의 최댓값은 $6$이고, 최솟값은 $-2$이다. (나) 방정식 $f(x)=2$의 모든 해의 합은 $50$이다. (다) 구간 $[0, 20]$에서 방정식 $|f(x)|=k$의 서로 다른 실근의 개수는 $10$개이다.

상수 $a, b, c, k$의 값을 이용하여 $a+b+c+k$의 값을 구하시오.