삼각함수 방정식의 근의 합과 상수값

문제

함수 $f(x) = |\cos x|\sin x$ 에 대하여, 방정식 $f(x) = k$ 는 구간 $(0, 2\pi)$ 에서 서로 다른 네 개의 실근 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 를 갖는다. (단, $\alpha_1 < \alpha_2 < \alpha_3 < \alpha_4$)

가장 작은 근 $\alpha_1$ 이 $\tan \alpha_1 = 2-\sqrt{3}$ 을 만족할 때, $k \cdot (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4)$ 의 값을 구하시오.