삼각함수와 방정식의 해의 조건

문제

양의 상수 $a, b, c$에 대하여 함수 $f(x) = a \sin(bx) + c$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$의 최댓값은 $5$, 최솟값은 $1$이다. (나) 방정식 $f(x) = k$의 서로 다른 실근의 개수가 구간 $(0, 2\pi)$에서 $8$이 되도록 하는 상수 $k$가 존재한다. (다) (나)를 만족하는 상수 $k$에 대하여, $f(x)=k$의 서로 다른 $8$개의 실근을 작은 것부터 크기순으로 $x_1, x_2, \dots, x_8$이라 할 때, $x_8 - x_1 = \\frac{11\\pi}{6}$이다.

$f\\left(\\frac{5\\pi}{24}\\right) + k$의 값은?