삼각함수 방정식의 실근 분석

문제

$0 \le x < \pi$ 일 때, 방정식 $2\left|\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right| = k$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $N(k)$라 하자. $N(k)$가 최대가 되도록 하는 자연수 $k$의 값을 $k_0$라 할 때, 방정식 $2\left|\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right| = k_0$ 의 모든 근의 합은? (단, $x$는 $0 \le x < \pi$ 범위의 값이고, $k$는 자연수이다.)