수열의 정의와 조건 추론 문제

문제

수열 $\{a_n\}$은 $a_1=k$인 자연수 $k$에 대하여 다음 두 조건을 만족한다.

(가) $a_n$이 3의 배수이면 $a_{n+1} = a_n - 10$이다. (나) $a_n$이 3의 배수가 아니면 $a_{n+1} = a_n + d$이다.

이때, $d$는 0이 아닌 정수이며, 다음 조건을 만족한다.

(i) $a_m=0$인 자연수 $m$이 존재하며, 모든 자연수 $n$에 대해 $a_n \ eq 0$ ($n < m$)이다. (ii) $1 \\le i < j < l < m$인 서로 다른 세 자연수 $i, j, l$에 대하여 $a_i=a_j=a_l$을 만족하는 값 $X$가 존재한다. (iii) $X$는 $d$의 배수이다.

위 조건을 모두 만족하는 $a_1$의 최솟값을 구하시오.