불연속 함수의 곱으로 정의된 연속 함수 문제

문제

두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 다음과 같이 정의된다. $f(x) = \begin{cases} x^2+a & (x < 1) \\\\ x+b & (x \ge 1) \end{cases}$ $g(x) = \begin{cases} x-c & (x < 2) \\\\ x^2-1 & (x \ge 2) \end{cases}$ 함수 $h(x) = f(x)g(x)$가 모든 실수에서 연속이고, $f(x)$는 $x=1$에서 불연속이며, $g(x)$는 $x=2$에서 불연속이다. 또한 $f(0)=0$일 때, 상수 $a, b, c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하시오.