무한수열 극한으로 정의된 함수의 연속성

문제

함수 $f(x)$를 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1} + ax^{2n} + b}{x^{2n} + 1}$ 이라 하고, 함수 $g(x) = x^2 - k$ 라 하자.

함수 $h(x) = f(x)g(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 연속이 되도록 하는 상수 $a, b, k$ 가 존재할 때, $k$ 의 값은? (단, $a, b, k$ 는 실수이다.)