삼차함수와 극한, 연속, 미분가능성 조건 활용 문제

문제

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$와 상수 $k$에 대하여 함수 $g(x)$, $h(x)$를 다음과 같이 정의하자. $g(x) = \frac{f(x)-f(1)}{x-1} \quad (x \neq 1)$ $h(x) = \begin{cases} g(x) & (x \neq 1) \\ k & (x=1) \end{cases}$ 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(3)$의 값을 구하시오.

(가) 함수 $h(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(나) 함수 $|h(x)|$는 $x=1$에서 미분가능하다.

(다) $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x^2-4}$의 값이 존재한다.