함수의 극한과 연속 고난도 문제

문제

함수 $f(x)$는 다음과 같이 정의된다. $f(x) = \begin{cases} x^2+1 & (x < a) \\ x+b & (x \ge a) \end{cases}$ 함수 $g(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수이며, 최솟값이 $-4$이다.

다음 조건을 모두 만족시키는 상수 $a, b$와 함수 $g(x)$의 축의 방정식 $x=k$에 대하여 $a+b+k$의 값을 구하시오.

(가) 함수 $h(x) = g(f(x))$는 모든 실수 $x$에 대하여 연속이다. (나) 함수 $f(x)$는 오직 한 개의 불연속점을 갖는다. (다) 함수 $f(x)$의 치역은 $[0, \infty)$이다. (라) $a$는 모든 조건을 만족시키는 가장 작은 양의 정수이다.