함수 극한과 연속 고난도 추론 문제

문제

함수 $f(x)$가 다음과 같이 정의된다. $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+ax-6}{x-2} & (x<2) \\ b & (x=2) \\ \frac{cx-3c}{x-3} & (x>2) \end{cases}$ 함수 $g(x)$는 최고차항의 계수가 1인 이차함수 $g(x)=(x-k)(x-m)$이다. $a, b, c$는 상수이고, $k, m$은 $k \ne m$인 정수이며 $k, m \ne 0$이다.

다음 조건을 만족시킬 때, $f(0)+g(1)$의 값을 구하시오.

(가) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$와 $\lim_{x \to 2^+} f(x)$가 모두 존재한다. (나) 함수 $f(x)$는 $x=2$에서 불연속이다. (다) 함수 $h(x)=f(x)g(x)$는 모든 실수 $x$에서 연속이다. (라) $f(4)=3$ 이다.