함수의 극한과 연속 조건에 따른 미정계수 추론

문제

함수 $f(x)$가 다음과 같이 정의된다. $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+ax-3}{x-1} & (x < 1) \\ 2x^2+bx-4 & (1 \le x \le 3) \\ \frac{\sqrt{cx+7}-5}{x-3} & (x > 3) \end{cases}$ $g(x)$는 이차함수이고, 함수 $h(x) = f(x)g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 연속이다. $g(0)=-2$이고 $g(1)=g(3)$일 때, $g(4)$의 값은?