절댓값 함수와 정적분

문제

최고차항의 계수가 1인 이차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $g(x) = \int_0^x f(t) dt$ 라 하자. 어떤 상수 $M$에 대하여 함수 $H(x) = |g(x) - M|$ 이 모든 실수 $x$에서 미분가능하다. $g(0)=0$, $f(2)=4$ 이고 $\int_0^1 f(x) dx = \frac{1}{3}$ 일 때, $\int_{-1}^1 f(x) dx$ 의 값은?