정적분으로 정의된 함수의 미분과 극값 문제

문제

함수 $f(x)$는 연속함수이고, 함수 $g(x)$는 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x) = \int_1^x (x-t)f(t) dt$로 정의된다. $g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $g(3)$의 값은?

(가) $g(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수이다. (나) $g(x)$는 $x=1$에서 극솟값을 갖는다. (다) $g(x)$는 $x=2$에서 극댓값을 갖는다. (라) $\int_0^1 f(t) dt = -1$