지수와 로그의 정수 조건 문제

문제

두 자연수 $n, k$가 $n \ge 2$, $k \ge 2$를 만족시킨다. $X_n = (n-3)^2+7$ 이라 할 때, 다음 두 조건을 모두 만족시키는 모든 자연수 $k$ 값의 합을 구하시오.

(가) $X_n^{\frac{1}{k}}$은 자연수이다.

(나) $\log_{k} X_n$은 자연수이다.