지수와 로그가 자연수가 되는 조건 문제

문제

두 자연수 $k, m$ ($k \ge 2, m \ge 2$)에 대하여 두 식 $X, Y$가 다음과 같이 주어져 있다. $X = \left( \frac{2^{3m}}{2^k \cdot \sqrt{2^{k}}} \right)^{\frac{1}{3}}, \quad Y = \log_m \left( \frac{3^9}{9^k} \right)$ $X$와 $Y$가 모두 자연수가 되도록 하는 모든 $k, m$ 쌍에 대해 $k+m$의 최솟값을 구하시오.