수능 킬러급 지수와 로그 문제

문제

자연수 $x, y$가 다음 다섯 가지 조건을 모두 만족할 때, 가능한 모든 $x$ 값의 합을 구하시오. 단, $x \neq y$ 이고, $x, y \ge 2$ 이다.

(가) $x$는 어떤 자연수 $k \ge 2$ 와 자연수 $m \ge 2$ 에 대하여 $x = m^k$ 꼴로 표현된다. (나) $y$는 어떤 자연수 $j \ge 2$ 와 자연수 $p \ge 2$ 에 대하여 $y = p^j$ 꼴로 표현된다. (다) $\log_x y$ 는 정수이다. (라) $\log_y (x^k)$ 는 기약분수 $\frac{P}{Q}$ 로 표현될 때, $P, Q$ 는 서로소인 자연수이고 $P+Q=5$ 이다. (마) $x \le 1000$ 이고 $y \le 1000$ 이다.