정수 조건과 지수-로그의 통합 문제

문제

자연수 $a, b, c$에 대하여 다음 세 조건을 만족시키는 순서쌍 $(a, b, c)$의 개수를 구하시오.

(가) $2^{12}$의 $a$제곱근 중 자연수인 것이 존재한다.

(나) $\log_b (3^{24})$이 자연수이다.

(다) $c^3 = a \cdot b$ 이고 $a+b \le 100$ 이다.