지수와 로그의 심화 추론 문제: 최솟값 찾기

문제

양의 실수 $a, b$와 $2$ 이상의 자연수 $k, l$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $a$의 $k$제곱근은 자연수이다. (나) $b$의 $l$제곱근은 자연수이다. (다) $\log_a b = \\frac{m}{n}$을 만족하는 서로소인 두 자연수 $m, n$이 존재한다. (라) $J = \log_{\\sqrt{a}} (b^2)$은 자연수이다. (마) $J < k \\cdot l$이다.

이때, $a+b+k+l+m+n+J$의 최솟값을 구하시오.