두 실수 $a, b$에 대한 지수와 로그 조건 문제

문제

두 실수 $a, b$가 $a > 1$, $b > 1$을 만족한다. 다음 조건을 모두 만족하는 $a, b$에 대하여 $a \\cdot b$의 값을 구하시오.

(가) $a^{1/k}$이 자연수가 되도록 하는 자연수 $k$의 개수는 3이다. (나) $b^{1/m}$이 자연수가 되도록 하는 자연수 $m$의 개수는 2이다. (다) $\\log_a b$는 유리수이고, $\\log_a b = \\frac{x}{y}$ (단, $x, y$는 서로소인 자연수)일 때, $x+y$의 최솟값은 50이다.