자연수 조건을 포함한 지수와 로그의 활용

문제

자연수 $a, b$가 다음 조건을 만족한다. ($a \\ge 2, b \\ge 2$)

(가) $\\log_b (a^4 b^6)$은 자연수이다. (나) $\\log_a (a^4 b^6)$은 자연수이다. (다) $N = a^4 b^6$ 에 대하여 $\\sqrt[n]{N}$이 자연수가 되도록 하는 $n \\ge 2$인 자연수가 적어도 2와 3은 존재한다.

$a, b$가 각각 $2 \\le a \\le 100$ 이고 $2 \\le b \\le 100$ 을 만족할 때, 위의 조건을 모두 만족시키는 순서쌍 $(a, b)$의 개수는?