자연수의 성질과 지수, 로그의 통합 추론 문제

문제

자연수 $a, b, n$ ($n \ge 2$)과 자연수 $k, m$에 대하여 다음 네 가지 조건을 모두 만족시킬 때, $a+b+n$의 값을 구하시오.

(가) $\sqrt[n]{ab}$는 자연수 $k$이다. (나) $\log_a b$는 유리수이다. (다) $\log_k (a+b)$는 자연수 $m$이다. (라) $a+b$의 모든 양의 약수의 합은 31이다.