지수와 로그의 조건 만족 자연수 n의 합

문제

자연수 $n$ ($n \ge 2$)에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족시키는 모든 $n$의 값의 합을 구하시오.

(가) $\sqrt[n]{2^{2k}}$이 자연수가 되도록 하는 100 이하의 자연수 $k$의 개수는 5이다. (나) $\log_{k^2} n^3$이 유리수가 되도록 하는 100 이하의 자연수 $k$가 적어도 하나 존재한다.